Forum : équations différentielles :
Equation différentielle avec second membre

Bonjour !
Voila, je dois rendre ce DM le lundi 21 avril, et j'ai beaucoup de mal avec les équations différentielles. De plus je suis privé de deux jours cette semaine à cause d'un stage pour mon orientation l'année prochaine. Si vous pouviez m'aider ce serai très sympathique de votre part. . .

Voici l'énoncé:
Partie A

Soit l'équation différentielle (E) y'+y=2(x+1)e^-x.
a.Montrer que la fonction f0 définie sur IR par: f₀(x)=(x²+2x)e^-x est une solution de l'équation (E).
b.Résoudre l'équation différentielle (E') y'+y=0.
c.soit u une solution de (E'). Montrer que la fonction f₀+u est une solution de (E). On admettra que, réciproquement, toute solution f de (E) est de la forme f=f₀+u où u est une solution de (E').
En déduire pour x réel, l'expression de f(x) lorsque f est solution de (E).

Partie B

f est la fonction numérique défini sur IR par : f(x)=(x²+2x+2)e^-x.

1.Etudier les limites de f en +oo et en -oo.
2.On sait que f est dérivable sur IR : déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de f.
3.Dans un repère orthonormal (O,i,j), on note C' la représentation graphique de f.
a.Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C' au point d'abcisse -1.
b.Tracer avec soin la courbe C' et la tangente T dans le repère (O,i,j)
4.a.Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction F définie par F(x)=(ax²+bx+c)e^-x soit une primitive de la fonction f sur IR.
b. est un réel positif. Calculer en cm² l'aire, notée A(), du domaine compris entre l'axe des abcisses, la courbe C' et les droites d'équations respectives x=0 et x=.


Aidez moi s'il vous plais, merci d'avance.

JFBELLO

Bonjour

Ou en es-tu? Tu as bien du faire le début, non? A partir d'où bloques-tu?

Bonjour

Bah disons que je nage complètement . . . ^^
Je n'ai pas compris grand chose au cours et la comme un nul je bloque a la 1er question . . .

Pour 1)a), tu vérifies que f'₀(x)+f₀(x)=2(x+1)e^-x

f'₀(x) = (-x²+x)e^-x ? (u'v+uv')

parce que qu'a f'₀(x)+f₀(x)=2(x+1)e^-x je trouve x(1+x)e^-x . . .

J'ai trouvé mon erreur et résolus la première question, pouvez vous m'aider pour le reste svp ?

OK, continuons.

Pour b):

y'/y=-1
ln(|y|)=-x+k et on en déduit que toutes les solutions de (E') sont de la forme f(x)=Ce^-x où C est un nombre réel quelconque.


c) On vérifie comme dans a) que f₀+u est solution de (E) doncles solutions sont les fonctions

f(x)=(x²+2x+C)e^-x où C est un réel.

Tu peux sûrement commencer la partie B.

"y'/y=-1
ln(|y|)=-x+k" je n'ai pas vu ça dans mon cours, vous pouvez m'expliquer svp ?

J'ai pris une primitive de chaque membre. Mais si tu n'as pas vu ça en cours, toute l'histoire me semble compromise...

Je l'ai peut-être vu mais pas de cette façon là . . . Parce que je ne vois pas comment déduire que les solution de (E') soit sou la forme de f(x)=Ce^-x à partir des primitives de l'équation y'/y=-1 .

Bonjour   (et bonjour Camélia)

Tu dois quand même avoir la formule dans ton cours. Les solutions de :

y' + ay = 0  avec a une constante sont :

y : x --> K.exp(-ax)

Sinon tu ne peux rien faire, sauf utiliser la méthode de Camélia (à la physicienne, mais qui marche hyper bien et que l'on peut justifier ensuite en vérifiant bien que l'on obtient ici : (e^xy)' = 0 )

Ok ?

Bonjour

Je vais essayer de faire comme ça même si je ne trouve pas cette formule dans mon cours, je verrai avec les autres si ils l'ont je l'ai peut-être loupé en le recopient.

Si jamais tu n'as pas ça dans ton cours, comme je l'ai dis, le plus "simple" est de voir ceci :

Tu veux résoudre :

y' + y = 0

Tu multiplis de chaque coté par e^x. Tu obtiens :

e^xy' + e^xy = 0

Or tu connais tes formules de dérivations et (uv)' = u'.v + u.v'

Ici tu prends u = e^x  et v = y

Tu obtiens :

(e^xy)' = 0

En intégrant :

e^xy = cste

donc y = cste/e^x = cste.e^-x

Bon courage pour la suite

Merci !

Pour le partie B j'ai
1.lim x -->+oo f(x)=0
lim x-->-oo f(x) = +oo

2.f'(x)=-x²e(-x)
et le tableau de variation décroissant de -oo à +oo avec comme bornes +oo et 0 . . . C'est ça ?  

C'est exactement ça

Bonjour !
J'ai un petit problème ... Je ne comprend pas la question 3 de la partie B . . .
"Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C' au point G d'abcisse -1." quelqu'un peut m'aider svp ?

A nouveau c'est du cours. L'équation de la tangente au point (a,f(a)) de la courbe est

y=f'(a)(x-a)+f(a)

donc y= xe ?

Je ne crois pas

f'(x)=(2(x+1)-x²-2x-2)e^-x

donc f'(-1)=-e et f(-1)=e

Oui, je me suis trompé sur un signe donc y=-xe

dsl pour le doublon mais quelqu'un peut m'expliquer comment trouver les 3 réels a, b et c de la 4.a ? et pour la b aussi svp merci d'avance !

Re

F définit sur IR par F(x) = (ax²+bx+c)e^-x  doit être une primitive de f sur IR

Il te suffit donc de dériver F et comme tu sais que F' = f, il te sera facile d'identifier les coefficients a, b, et c

A toi ...

Pour la b), tu as :



Bon courage

Bonjour ! j'espère pouvoir le finir aujourd'hui ^^
Alors pour la 4.a je trouve : F'(x)=(-ax²+2ax-bx+b-c)e(-x) comme f(x)=(x²+2x+2)e(-x)

donc a=-1 b=2a=-2 et c=-2 c'est ça ?

Non ce n'est pas ça ...

Vérifis ta solution !

Pourtant ta dérivée est bonne ...

Tu devrais normalement t'en sortir facilement.

Regroupe tous les termes en x², les termes en x et les termes constants

A toi

Enfin techniquement, tu en as bien un de bon

a = -1

On est d'accord

Bon je vois que tu es partis.

C'est dommage, tu devrais suivre tes posts, ça te serais bénéfique.

Comme je ne peux pas rester, je te donne les réponse sans explication, à toi de trouver ton (tes) erreurs.

a = -1

b = -4

c = -6

Alors a=-1 b=-4 et c=-2 ? ? ?

ok bon j'en ai 2 c'est pas mal je vais essayer d'avoir le 3ème . . .

C'est bon j'ai trouvé mon erreur, juste pour confirmation, pour la b je trouve A()=²+4 . . .

Pour la b) tu as :



Donc on ne peut pas trouver ce que tu trouves, il doit y avoir du exp(alpha) quelque part, il suffit de remplacer ...

exp(-alpha) d'ailleurs pour être précis

A()=(²+4+6)e(-)-6 ?

Presque c'est pas encore tout à fait ça, il y a une petite erreur

N'oubli pas :

Dans le cas général, ça vaut quoi en fonction de F(a) et F(b) ?

pas cool . . .

sur le [F(x)] c'est bien la borne du bas - celle du haut ? j'ai un doute

Et non justement, c'est l'opposé

Borne du haut - borne du bas

Tu corriges ?

ci c'est ça mon erreur la solution est :

A()=(²+4+6)e(-)+6 . . .

Toujours pas, il manque encore un moins !

Attention, faut être super attentif avec c'est truc là. Allez recommence, ce coup-ci ça va être là bonne

Tu peux mettre " a " à la place de " " si ça te permet d'écrire plus vite, je comprendrais

Juste un truc comme ça aus passage qui peut te permettre de vérifier que ton expression finale est bonne.

Tu prend

Ton aire doit alors être nulle, ce qui peut te permettre de vérifier tes fautes de signes éventuelles. ok ?

-(a²+4a+6)e(-a)+6 !

Voila !!

C'est bon

MERCI BEAUCOUP ! de ta patience surtout

Je t'en prie

Le plus important est que tu es compris

A bientôt

( Alalalala désolé pour toutes les fautes d'orthographes )