Nature d'une série ..
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Nature d'une série ..
Posté le 14-04-08 à 16:38
Posté par 
gui_tou gui_tou
Bonjour à tous
Perroquet m'a donné envie de replonger dans l'Officiel de la Taupe
Bon .. je pose^n}{n}.\Bigsum_{k=1}^n\fr1k)
Mais je ne vois pas quel critère de convergence utiliser (si il y a convergence ^^)
Merci de votre aide
gui_tou gui_touBonjour à tous
Perroquet m'a donné envie de replonger dans l'Officiel de la Taupe
Citation :
Nature de la série de terme général^n}{n}.\Bigsum_{k=1}^n\fr1k)
.
Nature de la série de terme général
Bon .. je pose
Mais je ne vois pas quel critère de convergence utiliser (si il y a convergence ^^)
Merci de votre aide
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 16:48
Posté le 14-04-08 à 16:48Posté par gui_tou gui_tou
Peut-être faut-il partir sur :
+\gamma)
donc
^n}{n}\(\ell n(n)+\gamma\))
ie ^n.\ell n(n)}{n}+\gamma.\fr{(-1)^n}{n})
Et puisque les deux séries^n.\ell n(n)}{n})
et ^n}{n})
convergent, alors 
converge..
gui_tou gui_touPeut-être faut-il partir sur :
donc
Et puisque les deux séries
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 16:54
Posté le 14-04-08 à 16:54Posté par tealc tealc
Chalut
A mon avis il faut partir de ce qu'à écrit gui_tou sur l'équivalent, mais on ne peut pas partir de l'équivalent (somme d'équivalent, beurk).
Il faut donc écrire un développement limité, à l'ordre qu'il faut, puis sommer. On a aura alors deux (ou trois) sommes convergentes d'après le critère des séries alternées, et une dernière (le o( ) ) absolument convergente, ce qui permettra de conclure
tealc tealcChalut
A mon avis il faut partir de ce qu'à écrit gui_tou sur l'équivalent, mais on ne peut pas partir de l'équivalent (somme d'équivalent, beurk).
Il faut donc écrire un développement limité, à l'ordre qu'il faut, puis sommer. On a aura alors deux (ou trois) sommes convergentes d'après le critère des séries alternées, et une dernière (le o( ) ) absolument convergente, ce qui permettra de conclure
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 16:59
Posté le 14-04-08 à 16:59Posté par tealc tealc
le problème est que t'écris :
et puisque 
et 
sont convergentes, 
l'est. Or ce n'est pas forcément vrai si les séries ne sont pas absolument convergentes, ce qui n'est pas le cas ici
sauf erreur ^^
tealc tealcle problème est que t'écris :
sauf erreur ^^
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:04
Posté le 14-04-08 à 17:04Posté par gui_tou gui_tou
Ok !
Dites moi si je me trompe :
 convergente \Longright \Bigsum_{n\ge1}u_n et \Bigsum_{n\ge1}v_n convergentes)
mais la réciproque n'est pas vraie.
tealc : un DL de qui ?
gui_tou gui_touOk !
Dites moi si je me trompe :
mais la réciproque n'est pas vraie.
tealc : un DL de qui ?
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:07
Posté le 14-04-08 à 17:07Posté par tealc tealc
Tu te trompes
et la somme est le terme générale d'une série convergente ...
Sinon, un DL de
tealc tealcTu te trompes
Sinon, un DL de
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:29
Posté le 14-04-08 à 17:29Posté par gui_tou gui_tou
^n.\ell n(n)}{n}+\gamma\fr{(-1)^n}{n}+\fr12.\fr{(-1)^n}{n^2}+o(\fr{1}{n^2}))
Si on passe à la somme, les 3 dernières séries convergent clairement, et la première^n.\ell%20n(n)}{n})
aussi ^^
Je vais me faire taper sur les doigts...
gui_tou gui_touSi on passe à la somme, les 3 dernières séries convergent clairement, et la première
Je vais me faire taper sur les doigts...
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:37
Posté le 14-04-08 à 17:37Posté par fusionfroide fusionfroide
Salut guillaume,
Pour la première tu utilises le critère des séries alternées ?
Sinon pour la dernière, tu vois comment montrer qu'elle converge absolument ?
fusionfroide fusionfroideSalut guillaume,
Pour la première tu utilises le critère des séries alternées ?
Sinon pour la dernière, tu vois comment montrer qu'elle converge absolument ?
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:38
Posté le 14-04-08 à 17:38Posté par jeanseb jeanseb
En suivant l'idée de PIL (16h57)
})
qui est négatif.
Sauf erreur
La série est donc alternée comme l'a dit PIL, son terme général est décroissant et qui tend vers 0 (équivalence avec lnx/x²).
On est dans le cas du théorème spécial sur les séries alternées, qui dit que la série converge.
Non?
jeanseb jeansebEn suivant l'idée de PIL (16h57)
qui est négatif.
Sauf erreur
La série est donc alternée comme l'a dit PIL, son terme général est décroissant et qui tend vers 0 (équivalence avec lnx/x²).
On est dans le cas du théorème spécial sur les séries alternées, qui dit que la série converge.
Non?
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:42
Posté le 14-04-08 à 17:42Posté par gui_tou gui_tou
salut FF et kéké
Pour être toutafé honnête, je ne vois pas comment montrer que la série converge.
^n}{n}=-\ell n(2))
(classique ^^)
^n}{n^2} convergente)
et=\fr{1}{n^2}o(1))
donc la série des o(1/n²) converge ..
?
gui_tou gui_tousalut FF et kéké
Pour être toutafé honnête, je ne vois pas comment montrer que la série
et
?
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:45
Posté le 14-04-08 à 17:45Posté par jeanseb jeanseb
Pour la série de 17h42, c'est pareil: dérive ln(x) /x, qui est décroissant pour x>1, donc le terme général de la série alternée tend vers 0 en décroissant---> critère spécial des séries alternées.
Non?
jeanseb jeansebPour la série de 17h42, c'est pareil: dérive ln(x) /x, qui est décroissant pour x>1, donc le terme général de la série alternée tend vers 0 en décroissant---> critère spécial des séries alternées.
Non?
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:45
Posté le 14-04-08 à 17:45Posté par soucou soucou
Série alternée... Pour la série du premier post, c'était aussi le cas avec une fonction qui tend vers 0 en décroissant... donc critère spécial des séries alternées. J'ai pas lu tous les messages.
soucou soucouSérie alternée... Pour la série du premier post, c'était aussi le cas avec une fonction qui tend vers 0 en décroissant... donc critère spécial des séries alternées. J'ai pas lu tous les messages.
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 17:52
Posté le 14-04-08 à 17:52Posté par gui_tou gui_tou
Je viens de découvrir l'existence de ce fameux critère spécial des séries alternées
Donc jeanseb, ok pour 17h38 !
Ma démarche de 17h29 est-elle correcte ?
Merci !
gui_tou gui_touJe viens de découvrir l'existence de ce fameux critère spécial des séries alternées
Donc jeanseb, ok pour 17h38 !
Ma démarche de 17h29 est-elle correcte ?
Merci !
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:01
Posté le 14-04-08 à 18:01Posté par tealc tealc
sinon effectivement, le calcul de jeanseb semble bon, on pouvait directement montrer qu'elle était décroissante et tendant vers 0 ... M'enfin bon ^^
tealc tealcsinon effectivement, le calcul de jeanseb semble bon, on pouvait directement montrer qu'elle était décroissante et tendant vers 0 ... M'enfin bon ^^
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:02
Posté le 14-04-08 à 18:02Posté par gui_tou gui_tou
tealc, j'ai demandé à jeanseb ..
Très bien, donc si j'avais voulu démontrer la convergence de la série artisanalement, c'eût été correct mon truc ?
Merci bien
gui_tou gui_toutealc, j'ai demandé à jeanseb ..
Très bien, donc si j'avais voulu démontrer la convergence de la série artisanalement, c'eût été correct mon truc ?
Merci bien
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:06
Posté le 14-04-08 à 18:06Posté par jeanseb jeanseb
Artisanalement, c'est vite dit!
Il me semble plus logique, sur ce chapitre, d'utiliser le critère des séries alternées, plutôt que le développement asymptotique de la série harmonique.
Enfin, des gouts et de couleurs...
jeanseb jeansebArtisanalement, c'est vite dit!
Il me semble plus logique, sur ce chapitre, d'utiliser le critère des séries alternées, plutôt que le développement asymptotique de la série harmonique.
Enfin, des gouts et de couleurs...
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:07
Posté le 14-04-08 à 18:07Posté par soucou soucou
Je pense que sinon il y aurait été plus judicieux de démontrer le critère après tout
Par contre dans ta relation faisant intervenir du
ce qui me gène est que l'intervalle de convergence de la série de termes général ^n}{\ n\ }x^n)
est ouvert en 1 donc... pas si classique
Je ne pense pas que ce soit juste mais attend je ne l'ai regardé en détail.
soucou soucouJe pense que sinon il y aurait été plus judicieux de démontrer le critère après tout
Par contre dans ta relation faisant intervenir du
Je ne pense pas que ce soit juste mais attend je ne l'ai regardé en détail.
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:08
Posté le 14-04-08 à 18:08Posté par J-P J-P 
|U(n)| = (1/n) * [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]
|U(n+1)| = (1/(n+1)) * [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1)]
|U(n+1)| - |U(n)| = [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]*[1/(n+1) - 1/n] + 1/(n+1)²
|U(n+1)| - |U(n)| = [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]*[-1/(n.(n+1))] + 1/(n+1)²
|U(n+1)| - |U(n)| = -[1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]/(n.(n+1)) + 1/(n+1)²
|U(n+1)| - |U(n)| < 0
|U(n+1)| < |U(n)| (1)
-----
Comme Somme(k=1 à n) 1/k est > 0 quel que soit n, la série est alternée par la présence du (-1)^n (2)
-----
0 <= (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) <= ln(n)/n
0 <= lim(n-> +oo) (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) <= lim(n-> +oo) [ln(n)/n]
0 <= lim(n-> +oo) (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) <= 0
lim(n-> +oo) (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = 0 (3)
-----
Avec (1), (2) et (3), la série est convergente en vertu de théorème de Leibniz.
-------------
Rappel:
Théorème de Leibniz :
Si dans une série alternée u1 , -u2 , u3 , -u4 ... où u1 , u2 , u3 ... un ... sont positifs, les termes vont en décroissant (soit u1 > u2 > u3 > ...) et si lim(n-> oo) u(n) = 0, alors la série converge.
-----
Sauf distraction (pas vérifié)
J-P J-P |U(n)| = (1/n) * [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]
|U(n+1)| = (1/(n+1)) * [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1)]
|U(n+1)| - |U(n)| = [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]*[1/(n+1) - 1/n] + 1/(n+1)²
|U(n+1)| - |U(n)| = [1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]*[-1/(n.(n+1))] + 1/(n+1)²
|U(n+1)| - |U(n)| = -[1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n]/(n.(n+1)) + 1/(n+1)²
|U(n+1)| - |U(n)| < 0
|U(n+1)| < |U(n)| (1)
-----
Comme Somme(k=1 à n) 1/k est > 0 quel que soit n, la série est alternée par la présence du (-1)^n (2)
-----
0 <= (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) <= ln(n)/n
0 <= lim(n-> +oo) (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) <= lim(n-> +oo) [ln(n)/n]
0 <= lim(n-> +oo) (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) <= 0
lim(n-> +oo) (1/n) * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = 0 (3)
-----
Avec (1), (2) et (3), la série est convergente en vertu de théorème de Leibniz.
-------------
Rappel:
Théorème de Leibniz :
Si dans une série alternée u1 , -u2 , u3 , -u4 ... où u1 , u2 , u3 ... un ... sont positifs, les termes vont en décroissant (soit u1 > u2 > u3 > ...) et si lim(n-> oo) u(n) = 0, alors la série converge.
-----
Sauf distraction (pas vérifié)
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:08
Posté le 14-04-08 à 18:08Posté par gui_tou gui_tou
Je n'ai pas encore fait de chapitre sur les séries ; on a seulement vu les bases sur les séries. (je suis en sup, PCSI ^^)
Et cet exo m'intéressait, donc je l'ai posté !
gui_tou gui_touJe n'ai pas encore fait de chapitre sur les séries ; on a seulement vu les bases sur les séries. (je suis en sup, PCSI ^^)
Et cet exo m'intéressait, donc je l'ai posté !
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:10
Posté le 14-04-08 à 18:10Posté par gui_tou gui_tou
Impec, merci J-P !
Théorème de Leibnitz = critère spécial des séries alternées, n'est-ce pas ?
gui_tou gui_touImpec, merci J-P !
Théorème de Leibnitz = critère spécial des séries alternées, n'est-ce pas ?
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:15
Posté le 14-04-08 à 18:15Posté par J-P J-P
Yes.
Mais c'est Leibniz et pas Leibnitz
C'est ce bonhomme-ci:
J-P J-P Citation :
Théorème de Leibnitz = critère spécial des séries alternées, n'est-ce pas
Théorème de Leibnitz = critère spécial des séries alternées, n'est-ce pas
Yes.
Mais c'est Leibniz et pas Leibnitz
C'est ce bonhomme-ci:
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:19
Posté le 14-04-08 à 18:19Posté par lyonnais lyonnais
Et moi je l'appelle de TSA : théorème des séries alternées !
Mais en 2 ans j'ai vu (et entendu les 3 noms) :
Théorème de Leinitz
Critère spécial des séries alternées
TSA
Quelqu'un a un autre nom a proposer ?
lyonnais lyonnaisEt moi je l'appelle de TSA : théorème des séries alternées !
Mais en 2 ans j'ai vu (et entendu les 3 noms) :
Théorème de Leinitz
Critère spécial des séries alternées
TSA
Quelqu'un a un autre nom a proposer ?
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:21
Posté le 14-04-08 à 18:21Posté par fusionfroide fusionfroide
oui, moi j'ai toujours appelé cela le CSSA : critère spécial des séries alternées ...
fusionfroide fusionfroideoui, moi j'ai toujours appelé cela le CSSA : critère spécial des séries alternées ...
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:21
Posté le 14-04-08 à 18:21Posté par fusionfroide fusionfroide
ah j'avais pas vu que lyonnais l'avais déjà cité ^^
Un post pour rien ^^
fusionfroide fusionfroideah j'avais pas vu que lyonnais l'avais déjà cité ^^
Un post pour rien ^^
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:22
Posté le 14-04-08 à 18:22Posté par jeanseb jeanseb
TSCA: Théorème sur Certaines Suites Alternées (dans les (excellents) livres de J.M.Monnier).
jeanseb jeansebTSCA: Théorème sur Certaines Suites Alternées (dans les (excellents) livres de J.M.Monnier).
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:31
Posté le 14-04-08 à 18:31Posté par J-P J-P
Coup classique, si un mathématicien non français fait avancer le chmilblik, son nom sera souvent mystérieusement oublié dans les manuels français ou alors remplacé par celui d'un français qui aurait trouvé la même chose, fusse un siècle plus tard.
Est-ce si difficile de rendre à César ce qui ...
J-P J-P Coup classique, si un mathématicien non français fait avancer le chmilblik, son nom sera souvent mystérieusement oublié dans les manuels français ou alors remplacé par celui d'un français qui aurait trouvé la même chose, fusse un siècle plus tard.
Est-ce si difficile de rendre à César ce qui ...
re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:50
Posté le 14-04-08 à 18:50Posté par lyonnais lyonnais
Tu n'a pas tort J_P
Mais en fait, nous on l'appelle le TSA, parce qu'il y a déjà un autre théorème qui s'appelle le théorème de Leibniz
C'est le théorème de dérivation sous le signe intégral.
Après je serais incapable de te dire si c'est le même Leibniz, mais si c'est bien le même, il a inventé trop de truc, donc il peut bien perdre un théorème par-ci par là ^^
lyonnais lyonnaisTu n'a pas tort J_P
Mais en fait, nous on l'appelle le TSA, parce qu'il y a déjà un autre théorème qui s'appelle le théorème de Leibniz
C'est le théorème de dérivation sous le signe intégral.
Après je serais incapable de te dire si c'est le même Leibniz, mais si c'est bien le même, il a inventé trop de truc, donc il peut bien perdre un théorème par-ci par là
^^re : Nature d'une série .. Posté le 14-04-08 à 18:54
Posté le 14-04-08 à 18:54Posté par elhor_abdelali elhor_abdelali
Bonjour ;
Je m'incruste
Et si on demandait de calculer la somme ?!!!
elhor_abdelali elhor_abdelali Bonjour ;
Je m'incruste
Et si on demandait de calculer la somme ?!!!
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