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Niveau Maths sup
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Espace vectoriel et polynome de lagrange

Posté par
solaris
15-04-08 à 10:58

Bonjour à tous, je bloque un peu sur une partie de l'exo, si quelqu'un a une petite idée....

Soir n* et l'application de n[X] dans n+1 définie par:
(P)=(P(0),P(1),...,P(n)).

1) J'ai montré que est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
                                                           n
2)Pour tout i tq 0in, on définit Li= (X-k)
                                                       k=0 ki

a) Pour tout (i,j)[|0,n|]2, déterminer Li(j).
                            n  
          Donc Li(j)= (j-k)
                       k=0 ki

d'où Li(j)=0 si ji, mais si j=i cela ne vaut rien de spécial il me semble...

b) Montrer que la famille (Li)0in est une base de n[X].

       Là je ne vois pas trop



Merci d'avance.

Posté par
solaris
re : Espace vectoriel et polynome de lagrange 15-04-08 à 13:45

Posté par
perroquet
re : Espace vectoriel et polynome de lagrange 15-04-08 à 13:54

Bonjour, solaris

L_i(i)=(-1)^{n-i}i! (n-i)!

Pour la question b
On suppose que     3$ \sum_{i=0}^n \alpha_iL_i=0
Donc:   3$ \forall x \in {\mathbb C} \quad \sum_{i=0}^n \alpha_iL_i(x)=0

On pose ensuite x=k pour  k=0   k=1   ....   k=n

....

Ce qui prouvera que (L_i)_{0\leq i \leq n} est une famille libre

...

Posté par
Poitevin
re : Espace vectoriel et polynome de lagrange 15-04-08 à 13:55

Je ne suis pas expert mais je pense que tu peux montrer que la famille est libre en annulant une combinaison linéaire des vecteurs de la famille grâce à n+1 valeurs particulières : 0....n

Posté par
Poitevin
re : Espace vectoriel et polynome de lagrange 15-04-08 à 13:56

perroquet a répondu avant moi

Posté par
solaris
re : Espace vectoriel et polynome de lagrange 17-04-08 à 12:07

Merci beaucoup, mais ne faut-il pas prouver que les i sont tous nuls ? Je ne comprends pas bien pour quoi poser x=k avec k allant de 0 à n....

Posté par
perroquet
re : Espace vectoriel et polynome de lagrange 17-04-08 à 13:24

En posant   x=k   on obtient   \alpha_k=0
Donc, pour obtenir que tous  les   \alpha_k=0, il faut bien poser k=0, puis k=1 ... puis k=n



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