Forum : sections planes de surfaces :
Exercice Ellipses

Bonjour pourriez vous mexplique de façon détailler la réolution de lexercice suivant ? :

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Un des sommets du parallélogramme circonscit à l'éllipse X^2 + 4y^2 - 16 = 0 a (-1;2) comme coordonnée. Quelles sont les equations cartésiennes des côtés de ce parallélogramme?

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Merci!

bonjour

tu cherches deux tangentes à l'éllipse (E) qui passe par A(-1,2)
tu prends le symétrique B de A(-1,2) par rapport au centre de l'éllipse et cherches les deux tangentes à l'éllipse (E) qui passent par B

comment chercher les tangentes?

tu as y=rc(16-x²)/2   avec x élément de [-4,4]

y'=-x/2rc(16-x²)

y=ax+b l'équation de la tangente à l'éllipsse et qui passe par A(-1,2) donc

2=-a+b donc b=a+2
y=a(x+1)+2

tu remplaces dans x²+4y²-16=0

x²+4a²(x+1)²+16+16a(x+1)-16=0

(x+1)²-2x-1+4a²(x+1)²+16a(x+1)=0
(x+1)²-2(x+1)+1+4a²(x+1)²+16a(x+1)=0
(x+1)²(1+4a²)+2(x+1)(8a-1)+1=0
équation paramétrée de second dégré en (x+1)
Délta=4(8a-1)²-4(1+4a²)
     =4(64a²-16a+1-1-4a²)
     =4(60a²-16a)
     =16a(15a-4)

la droite y=a(x+1)+2 est tangente à l'éllipsse ssi il y a un seul point d'intersection
                                               ssi Délta=0
                                               ssi a=0 ou a=4/15

si a=0 alors (x+1)²-2(x+1)+1=0 ssi ((x+1)-1)²=0 ssi x1=0
donc la droite y=2 est tangente à l'éllipse au point (0,2)

si a=4/15 l'équation devient
(x+1)²(1+64/225)+2(32/15 -1)(x+1)+1=0
(289/225)(x+1)²+2(17/15)(x+1)+1=0
((17/15)(x+1))²+2(17/15)(x+1)+1=0
((17/15)(x+1)+1)²=0
x+1=-15/17
x2=-32/17
la droite y=4x/15+34/15 est tangente à l'éllipsse au point (-32/17,30/17)