Forum : ordre :
Inéquation/équation

1:. Soient u et v des rééls strictement positifs.
Montrez que : +   2

2:. Soient x,y et z des rééls strictement positifs.
En utilisant le résultat de la question précédente, montrez que :

+ + 6

3:. Montrer que pour tous réels x, y et z strictement postifs, on a :

(x+y+z)( +   +   )-3 =   +   +

4:. Déduire des résultats des questions 2 et 3 que :

(x+y+z)( +   +   9

Merci de votre aide, j'ai du mal avec les lettres.

Euh... et un petit bonjour est de trop pour toi...

Pardon, mais j'ai pas oublier Merci.

bonjour

u/v + v/u = (u²+v²)/uv = ( (u-v)²+2uv )/uv = (u-v)²/uv + 2

comme u et v sont strictement positifs, (u-v)²/uv > 0

et donc u/v + v/u > 2

Vérifie

bien vu padawan bonjour

Bonjours ^^'

Comment je peux vérifier ?

je me suis peut être trompé

Comme ça se fait que le + devient - ?

tu as développé

(u-v)²+2uv

pour voir ?

Couocu mikayaou

Euh... "coucou"...c'est mieux écrit comme ça...

^^

Oui quand on multiplie avec un carré c'est toujours positif ^^

bonsoir Heath et Mikayaou
2) on peut séparer les termes et les regrouper judicieusement
x/z + y/z + y/x + z/x + z/y + x/y
on regroupe les fractions inverses
(x/y + y/x) + (x/z + z/x) + (y/z + z/y)
= somme de trois nombres chacun égal ou supérieur à 2

3) calculer le produit du terme de gauche, en multipliant terme à terme et en posant les produits partiels en addition
regrouper les produits partiels de même dénominateur
la forme du membre de gauche sera alors <membre de droite> + 1 + 1 + 1 - 3

4) le membre de l'inégalité de gauche moins 3 égale un nombre égal ou supérieur à 3; le membre de gauche est donc égal ou supérieur à 9

bonjour

considère la fonction f(x)=x+(1/x)  sur R*+

f'(x)=1-1/x²=(x²-1)/x²

f'(x)=0 ssi x=1

f'(x)>0 ssi x appartient à ]1,+oo[ donc f est st croissante sur ]1,+oo[

f'(x)<0 ssi x appartient à ]0,1[ donc f est st décroissante sur ]0,1[

limf(x)=+oo en 0+ donc f admet un minimum en xo=1 et f(1)=2

donc qq soit x>0 f(x)>=f(1)=2

en particulier si x=u/v

u/v+v/u>=2

2) (x+y)/z+(y+z)/x+(z+x)/y=x/z+y/z+y/x+z/x+z/y+x/y
                          =(x/z+z/x)+(y/z+z/y)+(y/x+x/y)
                          >=2+2+2=6

3)(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)-3=[1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1)-3
                        =(x+z)/y + (x+y)/z + (y+z)/x +3-3
                        =(x+z)/y + (x+y)/z + (y+z)/x

4)comme (x+z)/y + (x+y)/z + (y+z)/x >= 6
donc (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)-3>=6

donc
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9

Les opérations avant le deux ce n'est pas de mon niveau O_o'

Le 3 et 4 c'est compris mais le 2 il n'y a pas une autre forme que :

=
=
>=

parce que c'est bizarre lol je préfère ( pour une meilleur aide de la méthode

=
= .. >= ..

Merci ^^

Ce 2 là :

2) on peut séparer les termes et les regrouper judicieusement
x/z + y/z + y/x + z/x + z/y + x/y
on regroupe les fractions inverses
(x/y + y/x) + (x/z + z/x) + (y/z + z/y)
= somme de trois nombres chacun égal ou supérieur à 2

J'ai tout compris ^^

Salut, tu peut te crée un nouveau sujet : En haut a gauche " nouveau Topic " Et voilà !

Je me suis tromper de conversation LOL

Bonjours j'ai un autre exercice et j'ai du mal :'( et il faut s'aider de l'exercice ci dessus. merci.

Soit ABC un triangle quelconque; on pose BC=a; CA=b; AB=c et p= a+b+c/2

1:. Montrez que : (p-a)+(p-b)+(p-c) = p

2:. A l'aide du résultat de la queston 4 ( du sujet ci dessus ) montrez que :
1/p-a + 1/p-b + 1/p-c >= 9/p

3:. Montrez que : (b+c)+(c+a)+(a+b)>= 9/4

4:. A l'aide du résultat de question 4 ( du sujet ci dessus ) montre que :
p(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b)>= 9/4

5:. Montrez que : 2p(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b)-3 = a/b+c + b/c+a + c/a+b

6:. a/b+c + b/c+a + c/a+b >= 3/2

puiS que : p+a/b+c + p+b/c+a + p+c/a+b >= 15/4

Encore merci ^^

Bonjour, je suis blouquer pour cette exercice :

Partie A :

4:.

Réponse :

4:. Comme
Donc
Donc

Partie B :

Soit ABC un triangle quelconque; on pose BC=a; CA=b; AB=c et p=

1:. Montrez que : (p-a)+(p-b)+(p-c) = p

2:. A l'aide du résultat de la queston 4 montrez que :   

3:. Montrer que : (b+c)+(c+a)+(a+b) = 4p

4:. A l'aide du résultat de question 4 montre que :

5:. 2p

6:. En dédure que :
Puis que :

Merci pour votre aide.

*** message déplacé ***

Bonjour
B.1) (p-a)+(p-b)+(p-c) = 3p -(a+b+c) = 3p -2p = p.

*** message déplacé ***

B.2)
utilise le résultat du 4) en posant x=p-a, y=p-b, et z=p-c. Alors:
((p-a)+(p-b)+(p-c))(1/(p-a)+1/(p-b)+1/(p-c)) >= 9
p(1/(p-a)+1/(p-b)+1/(p-c)) >= 9   d'après B.1)
donc 1/(p-a)+1/(p-b)+1/(p-c) >= 9/p

*** message déplacé ***

B.3)
(b+c)+(c+a)+(a+b) = 2(a+b+c) = 2*2p = 4p.

B.4)
Utilisons le résultat du 4) en posant x=b+c, y=c+a, et z=a+b. Alors:
((b+c)+(c+a)+(a+b))(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) >= 9
4p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) >= 9    d'après B.3)
donc p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) >= 9/4

*** message déplacé ***

B.5) il n'y a pas de question... cela singnitie-t-il que tu as réussi à démontrer cette égalité? Je l'interprète comme tel.

*** message déplacé ***

B.6)
¤
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)) = 2p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) -3   d'après B.5)
Or p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) >= 9/4 d'après B.4),
donc 2p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) -3 >= 9/2 -3,
soit: 2p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) -3 >= 3/2.

Finalement: a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) >= 3/2.

¤
(p+a)/(b+c) +(p+b)/(c+a) +(p+c)/(a+b) = a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) +p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))
Or  a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) >= 3/2  et  p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) >= 9/4
Donc (p+a)/(b+c) +(p+b)/(c+a) +(p+c)/(a+b) >= 3/2 +9/4,
soit: (p+a)/(b+c) +(p+b)/(c+a) +(p+c)/(a+b) >= 15/4.

Voilà,
padawan.

*** message déplacé ***

J'ai oublié pour la 5éme question : Montrer que : 2p....

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Merci padawan !

*** message déplacé ***

ok...
B.5)
2p(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) -3 = (a+b+c)(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)) -3
= (a+b+c)/(b+c) +(a+b+c)/(c+a) +(a+b+c)/(a+b) -3
= a/(b+c) +(b+c)/(b+c) +b/(c+a) +(a+c)/(c+a) +c/(a+b) +(a+b)/(a+b) -3
= a/(b+c) +1 +b/(c+a) +1 +c/(a+b) +1 -3
= a/(b+c) +b/(c+a) +c/(a+b).

Voilà,
padawan.

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Mercii !

*** message déplacé ***

bonsoir Heath
le 4. de l'exercice précédent peut s'énoncer : le produit de la somme de trois nombres positifs par la somme de leurs inverses est égal ou supérieur à 9
1. a+b+c = 2p
2. dans la question 4 de l'exercice précédent, remplacer x, y, et z respectivement par p-a, p-b et p-c
3. ne manque-t-il pas un dénominateur ?
4. dans la question 4 de l'exercice précédent, remplacer x,y et z respectivement par b+c, c+a, a+b; puis remarquer que p = le quart de la somme de ces nombres+
5. 2p = a+b+c
le produit du membre de gauche est
a/(b+c) + a/(c+a) + a/(a+b) + b/(b+c) + b/(c+a) + b/(a+b) + c/(b+c) + c/(c+a) + c/(a+b)
en ôtant les termes qui se retrouvant dans le membre de droite et en regroupant les termes restants de même dénominateurs, on garde trois fractions dont le numérateur égale le dénominateur; ce qui revient à obtenir : 3-3 = 0
6. 2p est la demi-somme de (b+c), (c+a) et (a+b); dans la question 5, on la multiplie par la somme des inverses de ces nombres : le produit >= 9/2; on ôte 3 et on a un résultat >= 3/2; le membre de droite du 5 >=  3/2)
dans la question 4, le membre de gauche est p/(b+c) + p/(c+a) + p/(a+b)
on y ajoute les fractions de la première partie de la question 6, puis on regroupe les fractions de même dénominateur pour obtenir le membre de gauche de la dernière question
la dernière question est la somme des inéquations vu que 9/4 + 3/2 = 15/4

De rien

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Bonjour,