Construction de la multiplication dans Z

Posté par deydey54 deydey54

Bonjour je travaille actuellement sur la leçon "Propriété axiomatique de et construction de "
je me suis d'ailleurs aidé de qui est très bien fait, merci !
Mais j'aurais besoin de votre aide s'il vous plait pour démontrer que la multiplication est compatible avec ma relation d'équivalence:
la relation d'équivalence est
la multiplication est définie par


Cette opération définie sur est compatible avec la relation d'équivalence.

Je dois donc montrer que si et alors ce qui me donne soit
Je sais que et
mais je ne vois pas comment je dois m'y prendre.

J'espère que mon message est compréhensible
merci pour votre aide
bon aprèm

Posté par neuneu neuneu

Bonjour je ne suis pas du tout sure de ce que je vais vous présentez mais moi ce que je ferais:
on sait que (a,b)R(a',b') et (c,d)R(c',d') donc a+b'=b+a' et c+d' = c'+d
on veut montrer que (ac+bd,ad+bc) R (a'c'+b'd',a'd'+b'c') soit que ac+bd+a'd'+b'c'= ad+bc+a'c'+b'd' (1)

On suppose que c>= d donc il existe un entier naturel m tel que c=d+m . On a donc aussi c'=d'+m
Donc (1) équivaut à
a(d+m)+bd+a'd'+b'(d'+m)= ad+b(d+m)+a'(d'+m)+b'd'
qui équivaut à
am+b'm = bm+a'm
qui équivaut à
(a+b')m=(b+a')m
et par régularité de * çà équivaut à
a+b'=b+a'
et çà on le sait ! d'où la compatibilité .
Si quelqu'un pouvait me corriger si j'ai dit des bêtises s'il vous plait
merci

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonsoir
(a,b)R(c,d) signifie a-b = c-d
soit n1-n2 = n'1-n'2 = x et n3-n4 = n'3-n'4 = y; n2 = n1-x; n'2 = n'1-x; n4 = n3-y; n'4 = n'3 -y
le premier produit est (n1.n3+n2.n4, n1.n4+n2.n3)
ou (n1.n3+(n1-x)(n3-y) , n1(n3-y)+n3(n1-x))
= (n1.n3 + n1.n3 - y.n1 -x.n3 + xy , n1.n3 - y.n1 + n1.n3 - x.n3)
la différence entre le nombre à gauche de la virgule et le nombre à droite de la virgule est xy
le deuxième produit donne le même résultat, à ceci près qu'on met des apostrophes à tous les n; la différence est là encore xy
si on symbolise les produits par (A,B) et (C,D) : A-B = C-D et (A,B)R(C,D)

Posté par deydey54 deydey54

Merci plumemeteore mais je ne suis pas censé utiliser les -

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Deydey
alors on pourrait garder n2 et n4 et remplacer n1 par n2+x et n3 par n4+x
dans le produit, la différence entre les nombres à gauche et à droite de la virgule devrait rester x+y

Posté par deydey54 deydey54

Bonjour plumemeteore, merci je pense avoir compris !
Si çà ne vous dérange pas j'aimerais poser une autre question par rapport à cette leçon;
J'ai "construit" et je veux maintenant construire Z
Je commence par l'addition:
je donne comme définition :
df:On définit la loi interne + dans x en posant:
a,b,c d , (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

petite question s'il vous plait: çà se dit la loi interne + dans x?

je dis en remarque que cette loi est associative et commutative

puis une proposition
prop: + est compatible avec R (où R est la relation d'équivalence dans x (a,b)R(c,d)a+d=b+c)

Ensuite je dis
La compatibilité de R et de la loi + permet de définir la loi-quotient notée en posant
(a,b) , (c,d)   : (a,b)(c,d) =(a+c,b+d)
(j'ai souligné les classes)

La question que je me pose est, est ce que le + de x est la même addition que celle de la loi quotient : est ce que mon + et mon sont les mêmes ou dois je les différentier comme je l'ai fait en en mettant une en noir et en rouge

En espérant avoir été clair ! merci par avance
bonne journée

Posté par lolo5959 lolo5959

Bonjour deydey54,

Désolée, je n'ai pas la réponse,je viens faire remonter ton topic parce que justement, j'ai le même problème que dans ton dernier post

Posté par deydey54 deydey54

Bonjour, merci car je n'ai toujours pas trouvé de réponse ! Bonne journée et bon courage pour tes leçons !