Bonjour,
J'ai un exercice d'algèbre bilinéaire pour lequel je ne sais pas quoi utiliser :
On a E un R-espace vectoriel de dim finie n>0
f un endomorphisme de E avec f^2 = idE
B : E x E --> R une forme bilinéaire non dégénérée
Je dois montrer l'équivalence des deux propositions suivantes :
(1) Ker ( f - idE )et Ker (f+idE ) sont B-orthogonaux
(2) F est auto adjoint relativement à B
J'ai entendu dire qu'il faut utiliser le polynôme minimal et la décomposition des noyaux, mais je ne voit pas comment…. D'autant plus que l'on vient tout juste de commencer l'algèbre bilinéaire en cours.
Merci d'avance.
Bonsoir
Peut être en utilisant le fait que tout endomorphisme auto-adjoint est diagonalisable dans une base orthonormée?
Le sens (2) => (1) est évident déjà.
En effet, soit x dans Ker(f-IdE) et y dans Ker(f+IdE).
Vu que f est auto-ajoint relativement à B, B(f(x),y)=B(x,f(y))
D'où B(x,y)=B(x,-y)
alors 2B(x,y)=0 et donc B(x,y)=0
Ainsi Ker(f-IdE) et Ker(f+IdE) sont B-orthogonaux.
Je cherche l'autre sens.
C'est bon je pense avoir trouvé :
(1) => (2)
X-1 et X+1 étant premiers entre eux, le théorème de décomposition des noyaux nous donne :
Les deux sont donc supplémentaires B-orthogonaux.
Soient x et y dans E.
Il existe et tels que et
Donc f est auto-adjoint pour B.
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