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Algèbre bilinéaire

Posté par
florianlang
15-04-08 à 21:54

Bonjour,

J'ai un exercice d'algèbre bilinéaire pour lequel je ne sais pas quoi utiliser :

On a E un R-espace vectoriel de dim finie n>0
f un endomorphisme de E avec f^2 = idE
B : E x E --> R une forme bilinéaire non dégénérée

Je dois montrer l'équivalence des deux propositions suivantes :
(1) Ker ( f - idE )et Ker (f+idE ) sont B-orthogonaux
(2) F est auto adjoint relativement à B

J'ai entendu dire qu'il faut utiliser le polynôme minimal et la décomposition des noyaux, mais je ne voit pas comment…. D'autant plus que l'on vient tout juste de commencer l'algèbre bilinéaire en cours.

Merci d'avance.

Posté par
Nightmare
re : Algèbre bilinéaire 15-04-08 à 21:59

Bonsoir

Peut être en utilisant le fait que tout endomorphisme auto-adjoint est diagonalisable dans une base orthonormée?

Posté par
Nightmare
re : Algèbre bilinéaire 15-04-08 à 22:20

Le sens (2) => (1) est évident déjà.

En effet, soit x dans Ker(f-IdE) et y dans Ker(f+IdE).

Vu que f est auto-ajoint relativement à B, B(f(x),y)=B(x,f(y))
D'où B(x,y)=B(x,-y)
alors 2B(x,y)=0 et donc B(x,y)=0

Ainsi Ker(f-IdE) et Ker(f+IdE) sont B-orthogonaux.

Je cherche l'autre sens.

Posté par
Nightmare
re : Algèbre bilinéaire 15-04-08 à 22:40

C'est bon je pense avoir trouvé :

(1) => (2)

X-1 et X+1 étant premiers entre eux, le théorème de décomposition des noyaux nous donne :
3$\rm Ker(f-Id_{E})\oplus Ker(f+Id_{E})=Ker(f^{2}-Id_{E})=E

Les deux sont donc supplémentaires B-orthogonaux.

Soient x et y dans E.

Il existe 3$\rm (u,u')\in Ker(f-Id_{E}) et 3$\rm (v,v')\in Ker(f+Id_{E}) tels que 3$\rm x=u+v et 3$\rm y=u'+v'

3$\rm B(f(x),y)=B(f(u)+f(v),u'+v')=B(u-v,u'+v')=B(u,u')+\underb{B(u,v')}_{=0}-\underb{B(v,u')}_{=0}-B(v,v')=B(u,u')-B(v,v')
3$\rm B(x,f(y))=B(u+v,u'-v')=...=B(u,u')-B(v,v')=B(f(x),y)
Donc f est auto-adjoint pour B.

Posté par
florianlang
re : Algèbre bilinéaire 16-04-08 à 20:27

merci beaucoup



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