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Triangle: angles, bisectrice, médiane.

Sujet: Triangle: angles, bisectrice, médiane.


Soit un triangle "ABC".

Contrainte:  "^C" < "^B" < angle droit.
(Valeurs angulaires des angles (vaa) du triangle:  vaa "C" < vaa "B" < 90°).

Le milieu de [BC] est le point "M".

La bisectrice de l'angle "A" intersecte [BC] en "I".

1) Tracer un croquis tenant compte de la contrainte.

2) Demontrer que le point "I" appartient à [BM], les points B et M étant exclus).

Sujet: Triangle: angles, bisectrice, médiane.


Soit un triangle "ABC".

Contrainte:  "^C" < "^B" < angle droit.
(Valeurs angulaires des angles (vaa) du triangle:  vaa "C" < vaa "B" < 90°).

Le milieu de [BC] est le point "M".

La bisectrice de l'angle "A" intersecte [BC] en "I".

1) Tracer un croquis tenant compte de la contrainte.

2) Demontrer que le point "I" appartient à [BM], (les points B et M étant exclus).

Pour la première question il faut tracer une figure quelconque à l'aide des indications.Ensuite utiliser les angles des triangles ABI et ABM ou bien ce qui revient au même les angles des triangles ACI et ACM ( TENIR COMPTE DES CONTRAINTES DONNEES)

Merci pour ta réponse très rapide.

Tu proposes d'étudier (je supposer que tu veux signifier "comparativement") l'un ou l'autre des couples de triangles créés par les droites internes remarquables (une bisectrice, une médiane, les deux issues de l'angle A).

Ca produit donc, à analyser comparativement, les couples de triangles (ABI, ABM) ou (ACI, ACM).
Pourquoi pas?

* Le premier problème c'est que je ne vois aucun truc commun ou comparable dans ces couples!
* Le second, c'est que je ne vois pas clairement où ça pourrait nous mener. Quel est l'objectif de ces analyses comparatives?

(Je n'ai aucun piste viable à te proposer - Je tourne en rond - Je repotasse des manuels de 4° sur les triangles et les droites internes remarquables.

bonsoir Jean-Yves
connais-tu ceci :
dans un même triangle, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté
sur [AC), soit J tel que AJ = AB;
dans le triangle ABC, angle C < angle A, donc AB < AC et AJ < AC; J se trouve dans le segment [AC]
les triangles AIB et AIJ sont égaux comme ayant un angle égal en A compris entre deux côtés égaux chacun à chacun
donc angle AJI = angle ABI et est un angle aigu; l'angle CJI est un angle obtus et le plus grand du triangle JIC
dans le triangle JIC, IC > IJ
comme BI = IJ de par l'égalité des triangles AIB et AIJ, IC > IB;
BI+BI < BI+IC; 2BI < BC; BI < BC/2 cqfd

Communication de « plumemeteore»: Copié-collé :

Connais-tu ceci ? : Dans un même triangle, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté.
sur [AC), soit J tel que AJ = AB;
dans le triangle ABC, angle C < angle A, donc AB < AC et AJ < AC; J se trouve dans le segment [AC]
les triangles AIB et AIJ sont égaux comme ayant un angle égal en A compris entre deux côtés égaux chacun à chacun
donc angle AJI = angle ABI et est un angle aigu; l'angle CJI est un angle obtus et le plus grand du triangle JIC
dans le triangle JIC, IC > IJ
comme BI = IJ de par l'égalité des triangles AIB et AIJ, IC > IB;
BI+BI < BI+IC; 2BI < BC; BI < BC/2 cqfd

Récriture :

* Théorème : Dans un triangle, une {égalité ou inégalité} de mesure angulaire (entre 2 angles) entraîne réflexivement la même relation {=, >, ou <} de mesure métrique entre les cotés opposés à ces 2 angles.

(Soit J sur [AC], tel que AJ = AB.)

* Application du théorème :  Dans le triangle ABC, { angle C < angle A }…

Aïe! CA COMMENCE MAL : L'énoncé ne donne pas cette indication. L'énoncé dit juste ça (Lis surtout bien les deux contraintes !) :

Soit un triangle ABC.
• Première contrainte : Angle C < angle B.
• Seconde contrainte : Angles {C, B} < 90°.
• La bisectrice de l'angle A coupe [BC] en S.
• [AM] est la médiane issue de l'angle A, sur [BC].

L'énoncé ne mentionne pas l'angle A.
On peut donc avoir n'importe laquelle des combinaisons de « 3 parmi 3 » : {= 3 !  =  3*2  =  6 combinaisons possibles}, que je décline ci-dessous : Angles:

A < C < B:  « A » est  le plus petit  des 3,  et « B » est le plus grand ;      A > C < B :  « C » est  plus petit que  les deux autres.  Lire le renvoi *.
C < A < B:  « C » est  le plus petit  des 3,  et « B » est le plus grand ;      C > A < B :  « A » est  plus petit que  les deux autres.  Lire le renvoi **.
C < B < A:  « C » est  le plus petit  des 3,  et « A » est le plus grand ;      C < B > A :  « B » est  le plus grand  des 3.  Lire le renvoi ***.

* : On ne peut rien en tirer d'autre. On ne peut pas en déduire {A>B} car ça pourrait être le contraire {A<B}, ou même l'égalité {A=B}.
** : On ne peut rien en tirer d'autre. On ne peut pas en déduire {C>B} car ça pourrait être le contraire {C<B}, ou même l'égalité {C=B}.
*** : On ne peut rien en tirer d'autre. On ne peut pas en déduire {C>A} car ça pourrait être le contraire {C<A}, ou même l'égalité {C=A}.

Conclusion : La contrainte n° 1 { angle C < angle B } seule ne permet de poser aucune des inéquations suivantes comme postulat de départ : Valeurs angulaires : Ni { C<B<A } ni { {C, B} < A } ne sont dites dans l'énoncé.


Maintenant, on peut regarder si jamais la contrainte n° 2 permettrait de limiter les occurrences de combinaison d'inégalité.
Récriture de cette contrainte n° 2 : {B, C} < 90°  =>  … Tout ce que j'arrive à en tirer, moi, de cette contrainte n°2, c'est :  {0° < (B+C) < 180°}; autrement dit: L'angle A est non plat (0°).
Ca va pas loin !


Ton idée est intéressante.  Si elle partait d'une hypothèse juste, elle fonctionnerait bien.

As-tu d'autres idées ? (-Moi : Aucune.)  A te lire !  A lire « gracus_babeuf » aussi !  Jean-Yves.


Rappel de la contribution de "gracus_babeuf", le 16/04/08 : Pour la première question il faut tracer une figure quelconque à l'aide des indications. Ensuite utiliser les angles des triangles ABI et ABM ou bien ce qui revient au même les angles des triangles ACI et ACM ( TENIR COMPTE DES CONTRAINTES DONNEES).

Je pense que l'on peut raisonner avec les angles dans les triangles ABI et ACI; comme on sait que B > C et que les deux sont <inférieurs à  90° , l'angle AIB est égal à 180-( +B); l'angle AIC est égal à 180-( +C ) On peut en déduire que l'angle AIB est plus petit que l'angle AIC or ces deux angles ont une somme de 180° ( B,I et C alignés)donc l'angle AIB est aigu il suffit de construire la médiatrice de BC qui coupera la bissectrice de l'angle A .........[continuez avec les angles..]

bonjour Jean-Yves
j'ai fait une faute d'inattention
j'aurais dû écrire :
dans le triangle ABC, l'angle C < l'angle B (B au lieu de A)
donc le côté opposé à l'angle B est plus petit que le côté opposé à BC
AB < AC
après cette mise au point, le reste de ma démonstration devrait aller

Merci à vous deux (plume et gracus); vous êtes très sympa d'avoir remis les pieds dans ces angulations!

En plus, ça parrait carré comme un petit droit, ce que vous avez écrit.

Je regarderai ça lundi paske demain je voyage.

Encore merci. Bonnes vacances si c'est votre tour comme à moi (RP). Jean-Yves