etude d'une fonction rationnelle

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

Bonsoir ,j'aurais besoin d'aide pour cet exercice où j'ai des difficulté...Merci d'avance

Soit f la fonction définie sur par f(x) = -4/ x²+1 et C sa courbe représentative .

1/ Justifier que F est bien définie sur . Déterminer le signe de f (x) pour tout réel x .
2/a) Soit a et b deux réels positifs tel que 0a b. Justifier chaque étape du raisonnement :

           0 a b
           0 a² b²
           1 a²+1 b²+1
           1 1/a²+1 1/b²+1
          -4 -4/a²+1 -4/b²+1.

Que peut-on en deduire pour la fonction F ?

b) Etudier de même le sens de variation de f sur ]- ; 0]
c) En deduire le minimum de f sur
          

Posté par petitecerise petitecerise

Bonjour sarahtrgt,
qu'est ce que tu as déjà fait ? Quelle est la question qui te pose le plus de problèmes ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

la 2/ a , b et c me pose problèmes , c la première fois que je fais ce genre d'exercice et je ne sais pas comment démontrer  

Posté par petitecerise petitecerise

rebonjour,
pour la 2)a ce n'est pas si nouveau que ça...il faut juste retrouver par quelle règle tu peux passer d'une inégalité à l'autre.Je pense que tu dois en connaitre quelques unes.
Pour la question b) c'est la même que la a) ...commençons par là alors.                                              

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

ah !! je crois comprendre.
on peut dire :  on a élevé au carré ,on a ajouté 1 ,la 1/... je ne vois pas comment la traduire,puis on a multiplié par -4
est-ce cela ?? merci d'avance

Posté par petitecerise petitecerise

oui c'est ça !
Quand tu dis on a élevé au carré en fait le matheux préfère dire "on a appliqué la fonction carré". Lorsqu'on applique une fonction sur une inégalité, alors celle ci ne change pas si la fonction est croissante et elle change de sens si la fonction est décroissante ....Elle est comment la fonction carré ?....

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

elle est décroissante , donc ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

donc elle a changé de sens

Posté par petitecerise petitecerise

op op op ! tu vas trop vite ! Cette très célèbre fonction carré n'est pas toujours décroissante (dessine la et tu verras )et en plus lors du passage de la première ligne à la seconde les inégalités n'ont pas changé de sens !

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

ah exact , donc je récapitule  : on a 0 ab
                                 on a appliqué la fonction carré
                                 on ajoute 1
                                 on inverse  (pas sur de l'expression)
                                 on multiplie par -4

est-cela ?? svp une réponse de cette forme

Posté par petitecerise petitecerise

oui c'est juste ! reste a dire explicitement pourquoi ça change ou pas le sens de l'inégalité .
Pour t'aider je fais la première ligne : a et b sont deux réels positifs. Or la fonction carré est croissante sur + (donc ça ne change pas le sens de l'inégalité ) <-- ça t'es pas obligé de l'écrire c'est sous-entendu .

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

ah donc la on répond a la question : "que peut-on en déduire pour la fraction f ?" ?? est la réponse est quelle été décroissante et quelle devient croissante ?

Posté par petitecerise petitecerise

j'ai l'impression que je t'ai perdu en route...
On te demande dans un premier temps de justifier les étapes du raisonnement. Il y a 4 étapes il faut donc 4 petites justifications . Je t'ai donné la première pour t'expliquer ce qu'on attend de toi !
Maintenant il faut que tu fasses les trois autres et c'est seulement après que tu pourras en déduire quelque chose pour la fonction.
Compris ??

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

oui les 4 étapes sont cela : on a appliqué la fonction carré
                             on ajoute 1
                             on inverse  (pas sur de l'expression)
                             on multiplie par -4

Posté par petitecerise petitecerise

ce que tu écris est juste mais on attend de toi de mentionner que la fonction carré est CROISSANTE sur+. Sinon ce n'est pas complet ! et ça laisse à penser au correcteur que tu n'as peut-être pas tout compris et qu'il ne va peut-être pas mettre tous les points !
Et il faut en faire autant sur les autres étapes !

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

nous en classe quand la prof nous demander un programmes c'était juste sa la réponse ,je ne vois pas quoi ajouter aux autres étapes

Posté par petitecerise petitecerise

Demander un programme c'est faire l'effort de reconnaitre quelle fonction a été appliquée mais justifier un raisonnement nécécite un travail en plus : dire comment chaque opération agit sur le sens de l'inégalité
Tu vois ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

donc a chaque étape on doit dire si f est croissante ou décroissante sur R+ ??

Posté par petitecerise petitecerise


le sens de variation de f sur + ne change pas au cours du raisonnement . Ce qu'on veut c'est le sens de variation de la fonction que l'on applique pour passer d'une inégalité à une autre !

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

je ne vois pas comment faire ...

Posté par petitecerise petitecerise

par exemple pour justifier le passage de
0ab à
0ab.
D'une part j'identifie que l'on applique la fonction racine sur des nombres positifs d'autre part j'explique que cette fonction est croissante sur+. Mais je n'ai fait qu'une étape d'un raisonnement qui pourrait avoir plusieurs lignes

Posté par petitecerise petitecerise

la variation de f semble te tracasser. Règlons lui son sort tout de suite: on passe de ab (première ligne) à f(a)f(b) (dernière ligne du raisonnement ) ceci prouve que f est..... sur + (car a et b étaient positifs)

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

croissante ?

Posté par petitecerise petitecerise

impécable !
maintenant on s'acharne sur le raisonnement et on oublie f quelque temps !

Posté par petitecerise petitecerise

je risque de me répéter si j'essai encore de t'expliquer. Prends le temps de relire ce qu'on a fait ....

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

il faut avoir la question 1) je croie non ? car je ne l'ai pas encore résolu

Posté par petitecerise petitecerise

on finit cette histoire de raisonnement avant de passer à autre chose ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

ok

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

donc je vois toujours pas quoi mettre en justification des étapes ...

Posté par petitecerise petitecerise

c'est le premier exemple que vous faites ( exemple de justification d'inégalités )?

le principe repose sur le fait que lorsqu'on applique une fonction de référence ( dont on connait les variations) on sait à l'avance si on change ou non le sens de l'inégalité .

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

donc ?

Posté par petitecerise petitecerise

Je n'arrive pas à t'expliquer d'avantage...
On essaie quelque chose d'autre ?

Si on part de ab0 : en applicant le même "programme"...Qu'obtiens tu à la fin ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

-4 / a²+1 -4 / b²+1 -4

Posté par petitecerise petitecerise

qu'est ce que tu en conclus ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

que f est croissante ?

Posté par petitecerise petitecerise

croissante sur quel ensemble ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

R

Posté par petitecerise petitecerise




regarde ce que j'ai souligné....

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

sur R+ ?

Posté par petitecerise petitecerise

Je suis très fatiguée et je m'apperçois que je t'ai dis des bêtises... je te propose de redérouler le raisonnement pas à pas.



On part de ab0

Pose toi la question " Pourquoi elle écrit cela ? ou comment elle fait cela ?" et si tu n'y réponds pas alors tu m'arrêtes !
OK ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

ok

Posté par petitecerise petitecerise

On choisi a et b négatifs car on étudie les variations de f sur ]-,0]
Si on nous avait demandé les variations de f sur ]3;10] alors on serait parti de 3<ab10
d'ac ?

Ensuite on cherche à obtenir une inégalité comparant f(a) et f(b) .

Posté par petitecerise petitecerise

Il faut donc être capable de trouver de soi même le programme qui mène de a à f(a). Ici c'est plus facile car un travail analogue a été fait dans la question précédente.

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

ici c'est ==> -inf <ab0

Posté par petitecerise petitecerise

Voici le programme qui va de a à f(a)
(rq: c'est pareil pour b bien entendu )
a---->a²--->a²+1--->1/(a²+1)--->-4/(a²+1)

Pour le trouver tout seul il suffit de s'imaginer ce qu'on ferrait si on devait calculer f(2) de tête:
d'ac ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

oui sa c'est la 2)a  pas la 2)b quon fait

Posté par petitecerise petitecerise

- on ne l'écrit jammais dans les inégalités ( c'est sous entendu ) et en plus ce n'est pas un nombre donc pour élever au carré ou bien lui ajouter 1 on est un peu gêné

Posté par petitecerise petitecerise

2)a ou 2)b c'est presque pareil sauf que dans la a c'est très guidé et dans la b on travaille plus sur le même intervalle.

Posté par petitecerise petitecerise

Donc le programme à suivre ( en français ) est :
étape 1 : appliquer la fonction carré
étape 2 : ajouter 1
étape 3 : appliquer la fonction inverse
étape 3 : multiplier par -4

Tu es d'ac ?

Posté par sarahtrgt sarahtrgt

oui tout a fait