Forum : équations différentielles :
Exponentielles : f(x)=u(x)*exp(-x)

Bonjour à tous, j'ai un DM à faire pour la rentrée, et je bloque sur le début, voilà l'énoncé :

On admet les deux résultats suivants : La fonction exponentielles est une solution sur R du problème différentiel :

{y'=y
{y(0)=1

Pour tout réel x, exp(x)*exp(-x)=1

Soit u une solution sur R de (E). En utilisant la fonction définie sur R par
f(x)=u(x)*(exp-x), prouvez que la fonction exponentielle est l'unique solution de (E) sur R.

Voilà, merci d'avance.
Kice

Bonjour,
Dérive f et tu trouveras 0 donc f est constante, en outre f(0) = 1 donc pour tou x f(x)=1 ce qui se traduit par u(x)=exp(x)

Merci beaucoup dormelles, ca m'a débloqué, en suivant ton raisonnement je trouve donc ceci :

f(x) = u(x) * exp(-x)
On dérive :
f'(x) = u'(x) * exp(-x) + u(x) * (-exp(-x))
f'(x) = exp(-x) * [u'(x) - u(x)]

Sachant que u(x) est solution de (E) sur R, donc u'(x) = u(x) d'où
f'(x) = exp(-x)*0
f'(x) = 0

Alors la fonction f est constante, or comme u est solution de (E), u(0)=1 d'où f(0) = u(0)* exp (0)
f(0) = 1 * 1
f(0) = 1

Ainsi pour tout x, f(x) = 1.
Donc
u(x) * exp(-x) = 1
u(x) = 1/exp(-x)
u(x) = exp(x)

Il existe donc une unique solution de (E) sur R qui est la fonction exponentielle.

Cela me paraît correct.