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resolution d'une equation matricielle
il s'agit de la seconde partie d'un problème de maths sur laquelle j'ai des difficultés la première partie servait essentiellement a trouver les propriétés de la trace d'une matrice.
l'équation a résoudre est tX+X=tr(X)A
on divise la resolution de l'equation en deux partie la premiere :analyse la seconde: synthese.
analyse:
1) montrer que 2tr(X) =(tr(X))(tr(A))
2) si trX=0 montrer que X est antisymetrique
3) si trX
0
a) montrer que trA=2
b)montrer que necessairement Aest symetrique
C) puis en remarquant que (X/tr(X) -A/2)+(tX/(trX) -A/2)=0n,n
montrer que X s'ecrit sous la forme X=
A+B
où est un scalaire dans K et B une matrice antisymetrique.
Pour la question 1: çà parait simple on sait que tr (X) et trtX sont egaux donc le membre de gauche en le composant par la fonction trace donne bien 2trX
mais lorsque l'on compose le membre de droite j'ai peur de me tromper car il me semble que dire que
tr(tr(X)A) = (trX)(trA) est faux
pourriez vous m'aider svp???
Bonjour
Pour ta question précise: la trace étant linéaire, on a tr(A)=tr(A) et tu peux prendre =tr(X).
ai je bon lorsque je dis que tte matrice de trace nulle n'est pas necessairement une matrice antisymetrique???
Bonjour
oui, d'évidence!
les antisymétriques réelles ont non seulement la trace nulle, mais toute la diagonale nulle.
merci çà me rassure je commençai a douter.
Mais alors comment puis-je montrer que trX=0 implique que X est antisymétrique???
tX+X=0
tX=-X
Mais alors comment puis-je montrer que trX=0 implique que X est antisymétrique???
Ce que j'ai essayé de dire est que ce résultat est inexact:pour qu'une matrice soit antisymétrique, il FAUT au moins que tous ses elements diagonaux soient nuls. Mais ce n'est pas encore suffisant:
Salut jeanseb
Mais les matrices qui vérifient l'équation du début sont bien antisymétriques dès que tr(X)=0, car alors X+tX=0.
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