Forum : produit scalaire :
Un cercle (petit exo)

Bonsoir, je n'arrive pas à trouver les coordonnées du centre du cercle. Merci de m'aider

L'espace est muni d'un repère orthonormal.
a) Démontrer qe l'ensemble S d'équation x²+y²+z²-6x+4y-2z+10=0
est une sphère dont on précisera le rayon  et le centre.

J'ai trouver(x-3)²+(y+2)²+(z-1)²=4 donc sphère de rayon 2 et de centre I (3;-2;1)

b)P est le plan d'équation x+z-2=0
Démonter que l'intersection du plan P et de la sphère S est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

J'ai trouver le rayon r= mais je ne trouve pas les coordonnées du centre

Bonsoir,
Le centre du cercle est le projeté orthogonal de I sur le plan P

Merci mais j'y ai réfléchi et même avec un produit scalaire on n'arriverait pas à trouver les coordonnés du centre du cercle de rayon racine de 2. DOnc je ne vois pas comment faire

bonjour

tes résultats pour la sphère sont justes

le plan P d'équation x+z-2=0 a pour vecteur normal n=(1,0,1)

la droite qui joint le centre I de la sphère au cente C du cercle est perpendiculaire au plan P et a pour équation paramétrée:
x=3+µ
y=-2
z=1+µ

C appartient au plan P donc

(3+µ)+(1+µ)-2=0 donc µ=-1
donc les coordonnées de C sont
x=3-1=2
y=-2
z=1-1=0
C(2,-2,0)

IC²=(3-2)²+(-2+2)²+(1-0)²=2 donc IC=V2
d'après le th de pythagore: 2²=(V2)²+R² ; R étant le rayon du cercle
R=V2
  

Cherchons une représentation paramétrique de la perpendiculaire à P passant par I.
Un vecteur directeur est (1,0,1) (vecteur normal à P) donc
x=3+t
y=-2
z=1+t
3+t+1+t-2=0 d'où t=1 et le point cherché est (4,-2,2)
sauf erreur

Watik a raison : -1 et non 1.

bonsoir dormelles

Merci beaucoup Watik cela faisait trois heures que je me cassait la tête sur cet exercice!