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théorie de Galois

Posté par
mellepapillon 18-04-08 à 11:04

Bonjour,

J'ai quelques points qui me bloquent dans l'étude de la théorie de Galois , je serais ravie si quelqu'un peut éclaircir tout ça dans ma tête...

voilà les notations
J'ai D= ( $\sqrt 2,^{3}\sqrt 5,j$ ) et G=Gal(D|)

J'ai montré que [D:]=12

J'ai $\alpha= sqrt 2 + ^{3}\sqrt 5$

$\alpha'=-sqrt 2 + ^{3}\sqrt 5$

$\beta = sqrt 2 + j ^{3}\sqrt 5$

$\beta'= -sqrt 2 + j ^{3}\sqrt 5$

$\gamma= sqrt 2 + j^{2}. ^{3}\sqrt 5$ et $\gamma'= - sqrt 2 + j^{2} .^{3}\sqrt 5$

J'ai montré que $(\alpha)$ =( $^{3}\sqrt 5 , \sqrt 2$ )

Irr( $\alpha$ ,)= ( $X - \alpha)(X-\alpha')(X-\beta)(X-\beta')(X-\gamma)(X-\gamma')$

Maintenant je dois déterminer le nombre de corps de rupture dinstincts dans D de Irr( $\alpha$ ,)

J'ai réussi à montrer que ( $\alpha'$ ) = ( $\alpha$ ) mais en montrant que ( $\alpha'$ )= ( $^{3}\sqrt 5 , \sqrt 2$ ) et non en montrant des relations entre $\alpha et \alpha'$

J'imagine que je peux montrer tout aussi bien que ( $\beta'$ ) = ( $\beta$ )

Le problème c'est que je n'arrive pas à voir pourquoi ça marche, quelle relation les unis, de plus il est facile de voir que ( $\beta$ ) n'est pas égal à ( $\alpha$ ) à cause de la présence de j mais je n'arrive pas à voir ce qui change dans le polynôme irréductible. J'aimerais savoir et comprendre l'argument exact qui fait que ça marche. Je ne sais pas si je suis très claire...

Merci par avance

Posté par re : théorie de Galois 18-04-08 à 23:32

une manière de faire est de décrire le groupe de Galois. Ensuite comme ton extension est Galoisienne tu as une bijection entre les sous-groupes et les extensions intermédiaires....bon faut tout le théorème de correspondance de Galois...tu auras toutes les sous extensions donc tous les corps de rupture.

Je suis pas persuadé que ta méthode directe n'est pas plus rapide.

Bonne soirée,
lolo

Posté par re : théorie de Galois 19-04-08 à 13:20

d'accord, merci !
J'étais persuadé qu'il y a "l'" argument mais tu as certainement raison, je trouvais que c'était bien lourd comme manière de faire, que Galois avait plus de finesse dans sa poche.
Merci bien en tout cas, bonne journée

MellePapillon

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