Enigme de clemclem 7

Posté par clemclem clemclem

Bonjour à tous,

Voici l'énigme :
Soit y .
On pose avec n
Déterminer

Bonne chance à vous tous...
PS : pour ce qui n'arriverais pas à lire la fin de l'expression c'est y puissance (1 * 10 puissance n)...

Posté par J-P J-P

Pas de points (bons au mauvais) pour moi SVP.
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En notant L la limite demandée:

Si y >= 1, L = oo
Si 0 < y < 1 , L = 1/(1-y)
Si y = 0, L = 1
Si 0 < y < -1, L = 1/(1-y)
Si y = -1, (ici la limite oscille entre 0 et 1, mais est à 0 si on considère des nombres entiers de groupes (1 + ...+y(^9.10^n))
Si y < -1, (ici la limite oscille entre -oo et +oo, mais est à -oo si on considère des nombres entiers de groupes (1 + ...+y(^9.10^n))


(On trouve que wn est la somme de 10^(n+1) nombres en progression géométrique de raison y et de premier terme = 1)

Posté par gilbert (invité)

Préalable : j'ai supposé qu'il y avait des ....entre la deuxième et la troisième parenthèse !!

1er cas : Je suppose y =+1
J'ai 10 termes dans chaque parenthèse tous égaux à 1,donc w_n=10 *10*10*...10 (n+1 fois) = 10ⁿ⁺¹.
Dans ce cas la limite quand n+ est +.

2eme cas : je suppose y=-1
Le premier terme du produit est nul (alternance de 10 termes successivement égaux à +1 et à -1).
L'expression est donc égale à 0 et sa  limite est 0.

3eme cas :y différent de + et - 1
Chaque parenthèse est la somme des termes d'une progression géométrique de raison respectivement y, y¹⁰, y^10[sup]2[/sup], y^10[sup]3[/sup], ....y^10[sup]n[/sup].
L'expression w_n peut donc s'écrire sous la forme :
[(1-y¹⁰)/(1-y)]*[(1-y^10[sup]2[/sup])/(1-y¹⁰)]*[(1-y^10[sup]3[/sup])/(1-y^10[sup]2[/sup])]*...[(1-y^10[sup]n+1[/sup])/(1-y^10[sup]n[/sup])], ce qui donne en simplifiant :
w_n= (1-y^10[sup]n+1[/sup])/(1-y).

si y]-1,+1[, la limite est 0.

si y]-,-1[, w_néquivaut à y^10[sup]n+1-1[/sup]qui tend vers -(car l'exposant de y est impair). Dans ce cas, la limite de w_n est -

si y]+1,+[ w_néquivaut à y^10[sup]n+1-1[/sup]qui tend vers +.
Dans ce cas, la limite de w_n est +.

Posté par LNb (invité)

Je suppose qu'il faut mettre des pointillés entre le second terme du produit et le dernier terme du produit

si y = 1 alors w_n = 10*10*..*10 = 10ⁿ⁺¹ donc limite = + oo

si y = -1 alors 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 =0 donc w_n = 0 et limite = 0

si y différent de 1 et -1 alors
1 + y + y² + .. + y⁹=
1 + y¹⁰ + y²⁰+ ...+ y⁹⁰ =
....
1 + y^10[sup]n[/sup] + y^2.10[sup]n[/sup]+ ...+ y^9.10[sup]n [/sup] =

donc


si y < -1 limite du numérateur = + oo (y est à une puissance paire) donc limite du quotient - oo
si -1 < y < 1 limite =
si y > 1 limite = + oo

Posté par Ksilver Ksilver



la "1er parti" peut s'ecrire :
1+Y+Y²+Y^3+Y^4 ... Y^9 = (1-y^(10))/(1-Y)

la 2e "parti"
1+Y^10+Y^20+y^30+y^40+y^50 .... Y^90 = 1 + (Y^10)+ (y^10)²+(Y^10)^3 ... (Y^10)^9 = (1-(y^10)^10)/(1-Y^10) = (1-y^100)/(1-y^10)

de meme la 3e parti vaut (1-y^(10^10n))/(1-y^(10^n))


bon si Y>1 la 3e parti tend vers plus l'infinie, les 2 autres vers un reel sont Wn tend vers +oo

si y=1 Wn= 1000 pour tous n donc sa limite est 1000

si 0<y<1 le membre de droit temps vers 1 donc Wn temd vers le produit des 2 premier membre soit :
(1-y^100)/(1-y^10)*(1-y^(10))/(1-Y) qui je suis sure doit pouvoir ce simplifier...

si y vaut 0 Wn=1 donc lim (Wn) = 1

si -1<y<0 meme chose que pour 0<Y<1

pour Y=-1 la suite vaut 0 pour tous N donc sa limite est 0


et pour Y<-1, Wn tend vers +oo...

voila je pense avoir fais tous les cas possible...

Posté par Archange21 Archange21

Salut à tous
pas d'explication demandée    donc
lim Wn= + qd n tend vers +

Y a comme une odeur de poisson dans le coin...
@ +

Posté par franz franz





1° cas :  

     et    



2° cas :  




2° cas a/ :  


2° cas b/ :  
donc   et donc

2° cas c/ :  

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

Merci pour cet exercice intéressant! Voici ma réponse:

wn est un produit de n+1 facteurs, chaque facteur étant la somme de 10 termes successifs d'une progression géométrique.
On peut écrire wn=s0*s1*...sn avec sn=1+y^10ⁿ+...+y^(9*10ⁿ)

Premier cas: si y=0
Si y=0, wn=1 et lim wn = 1
                     n->

Deuxième cas: si y=-1
Si y=-1, wn=0 car s0=0 et lim wn = 0
                                    n->

Troisième cas: si y=1
Si y=1, wn=10^(n+1) car s0=s1=...=sn=10 et lim wn =
                                                             n->

Quatrième cas: si |y| est différent de 1 et de 0
Calculons s0,...sn:
s0=(1-y^10)/(1-y)
s1=(1-y^100)/(1-y^10)
etc...
sn=(1-y^10ⁿ⁺¹)/(1-y^10ⁿ)
L'expression de wn est "simple" car le dénominateur de s1 se détruit avec le numérateur de s0, le dénominateur de s2 se détruit avec le numérateur de s1, etc...
Finalement, wn=(1-y^10ⁿ⁺¹)/(1-y)

a) Si 0<|y|<1, le numérateur de wn tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
Donc, lim wn = 1/(1-y)
       n->

b) Si |y|>1, le numérateur de wn tend vers l'infini quand n tend vers l'infini.
Donc, lim wn =
       n->

Sauf erreur...

Bonne soirée

Posté par mizoun (invité)

salut pas facile facile cette énigme mais je vais quand meme essayer:

(1+y^10+y^20+...+y^90)=(1+(y^2)^5+(y^2)^10+..+(y^2)^45)
ce nombre est donc une somme de puissance de carré donc il est strictement positifs pour tout réel y.

De plus (1+y^(10^n)+y^(2x10^n)+...+y^(9x10^n)) peut s'écrire: (1+(y^(2^n))^(5^n)+...+(y^(2^n))^(9x5^n))

or lim y^(2^n)=+inf lorsque n tend vers +inf
de plus lim X^(k^n)=+inf lorsque que X et n tendent vers +inf et que k est un naturel
Donc lim(1+y^(10^n)+y^(2x10^n)+...+y^(9x10^n))=+inf lorsque n tend vers +inf
donc la limite de w(n) en +inf depend du signe de (1+y+y²+...+y^9)

pour y>0 (1+y+y²+...+y^9)>0 donc  lim w(n)= +l'infini pour n tend vers +l'infini

pour y<-1   ; y+1<0   ;   y^3<-y² donc y^3+y²<0    ...        y^9+y^8<0
     donc (1+y+y²+y^3+...+y^9)<0
donc pour y<-1 : lim w(n)= -l'infini


pour -1<y<0,  0<y+1<1  ;  -y²<y^3<0  donc 0<y^3+y²<y² ... de meme           0<y^9+y^8

donc (1+y²+y^3+...+y^9)>0
d'ou lim w(n)=+inf

pour y=-1 (1+y²+y^3+...+y^9)=0 donc lim w(n)=0


bon je sais pas trop si mon explication est claire et compréhensible mais j'arrive pas à faire mieux mdr alors je résume quand meme ma réponse:

pour y>-1 la limite de w(n) est + l'infini lorsque n tend vers + l'infini
pour y=-1 la limite de w(n) est 0 lorsque n tend vers + l'infini
pour y<-1 la limite de w(n) est - l'infini lorsque n tend vers + l'inifini

enfin fini j'espere que c'est juste mais en tout cas c'etait vraiment dur, merci beaucoup , longue vie a ce site

Posté par stanl59 (invité)

+ linfini

Posté par BelleAurélie (invité)

Si |y| < 1  , lim Wn = 1/(1-y)
Si y = -1, lim Wn=0
Dans tous les autres cas, Wn n' a pas de limites.

Posté par noluck noluck

J'imagine qu'il manque ... entre le second terme et le troisième. Si c'est le cas, je propose (toutes les limites sont évidemment pour n tendant vers +) :
Si y = 0, lim w_n = 1.
Si y = 1, lim w_n = +.
Si y = -1, lim w_n = 0.
Sinon, en utilisant la somme de termes d'une suite géométrique, on obtient :w_n = (1 - y^(10^(n+1)))/(1 - y).
Alors si 0 < |y| < 1, lim w_n = 1/(1 - y);
si y < -1, lim w_n = -;
si 1 < y, lim w_n = +.

Posté par papé (invité)

Bonjour
Suivant les valeurs de y:
-y tend vers +ou-infini :y^{[/sup]9*10[sup]}n tend vers +infini donc w_{[/sub]n tend vers +infini
-y tend vers 0 : w[sub]}n tend vers 1
Réponse un peu simpliste?

Posté par ofool ofool



lim de=+ qd n+

Posté par Marko (invité)

La limite est +.

Posté par clemclem clemclem

Bravo à tous ceux qui ont réussi cet exercice.
Deux résolutions étaient permises.
Si vous voulez les bonnes réponses, elles sont formulées de très belle façon par LNb...ainsi que par d'autres...

A bientôt...

Posté par LNb (invité)

Un petit commentaire sur les pièges de cette énigme

le cas y = -1 doit être traité à part car l'expression
n'est pas définie pour i non nul et y = -1

le cas y < -1 est délicat car, si yⁿ n'admet pas de limite en + oo, il n'en est pas de même de y^10[sup]n+1[/sup] qui tend vers + oo car 10ⁿ⁺¹ est toujours pair

attention donc à ceux qui rassurés par leur smiley ne regardent pas la solution : la limite de w_n est - oo quand y < -1

PS: pourquoi noluck n'at-il pas de smiley ? pas de chance ?

Posté par clemclem clemclem

Désolé je me suis trompé LNb tu as faux la limite de et quand y < -1 quand n tent vers + est + car devient infiniment négatif car y est négatif et donc tend vers +

Posté par LNb (invité)

Un nombre négatif, élevé à une puissance PAIRE, est positif

(-3)⁴ =  81
(-2)¹⁰ = 1024

10ⁿ⁺¹ est PAIR, donc y^10[sup]n+1[/sup] est POSITIF et....

....... w_n tend vers - oo quand y < -1 .....

Poisson ou smiley ça m'est égal, mais la VERITE doit être respectée

Posté par clemclem clemclem

effectivement...Je sais pas ce que j'ai...Quelques petites difficultés ce soir...Je vais tout recorriger...

Posté par noluck noluck

si si LNb, j ai bien eu mon piti smiley!!!
eh hum... je suis une fille... la verite doit etre respectee!
en tout cas il etait sympa ce problème!

Posté par noluck noluck

je ne suis que "visiteuse", mais je trouve ca pas tres juste que le pauvre gilbert cotoie le poisson pour s etre trompe sur la limite de 1 / (1 - y), alors que d autres affichent le large sourire meme s ils n ont pas distingué le cas y < -1 et 1 < y, comme la belle aurelie par exemple... y aurait il du preferentisme??!
petit conseil pour gilbert : faudrait trouver un prenom un peu plus sex!

Posté par clemclem clemclem

Juste une petite précision noluck...J'ai mis un smyley car on pouvait indiquer les limite en plus et mois l'infini comme on pouvait ne pas le faire...C'est donc normal qu'aurelie est un smiley...gilbert avait lui préféré donné une réponse plus complète c'était à ses risques et périls...

Voilà pour les expliquations...

A plus

Posté par noluck noluck

d accord je n etais pas au courant des regles!
j attends avec impatience la nouvelle enigme...!
a bientot!

Posté par gilbert (invité)

Eh oui, ma chère Noluck, on ne gagne plus rien à être un "pur" aujourd'hui !!
Quant à mon pseudo, il n'est certes pas très "sexy". Mais ni plus ni moins que "Franz" ou "Mizoun" .. et pourtant.!!! Ca rigole pour eux.
Fait on une différence entre + et - l'infini dans certains pays ?

Posté par gilbert (invité)

Pardon Franz , j'avais cru que tu avais eu un smiley!!
Au fait "pas de limite" signifie " tend vers + ou -l'infini"??
Soit f(n) sur N tq f(2n+1) =0 et f(2n) =1 ..Elle n'a pas de limites si n tend vers + l'infini et pourtant tend elle vers l'infini?

Posté par LNb (invité)

En France,

on distingue 4 situations pour la limite d'une suite
1) sa limite est un réel
2) sa limite est + oo
3) sa limite est - oo
4) elle n'a pas de limite

dans le cas 1), on dit que la suite converge vers l
dans les cas 2) et 3) on dit qu'elle diverge vers + oo ou - oo

Donc en toute rigueur, on ne peut pas dire d'une suite divergente qu'elle n'admet pas de limite, mais on peut dire qu'elle n'admet pas de limite réelle

rem : dans le cas 4) on cherche, dans le supérieur, des valeurs d'adhérences

Posté par gilbert (invité)

Merci LNb.
T'es un pro et je suis d'accord avec ton analyse !
C'est bien ce qui me semblait....: "on ne peut pas dire d'une suite divergente qu'elle n'admet pas de limite".
Alors la "belle Aurélie" se situe t'elle dans le cas 4 (comme elle le précise) ou le cas 2 ou 3 (comme la solution le précise)?
Pour Ptit Belge, les cas 2 et 3 ne font qu'un ,... c'est vrai, c'est plus simple.
Allez, les énigmes ! c'est pour le fun!

Posté par jetset (invité)

A cleclem
Même si c'est un forum de math:
"...C'est donc normal qu'aurelie est un smiley..."
Je suis sûr qu'Aurélie EST autre chose qu'un smiley.
En revanche c'est certainement normal qu'Aurélie AIT un smiley.

Euh...c'est juste pour le fun...ce n'est pas grave...Aïe ouille ... clemclem... pas sur la tête!!!

Posté par lucas951 lucas951

Difficile !

LucaS