Forum : équations différentielles :
D'après Sujet de Bac ( équation différentielle, logarithme etc .

Bonjour, j'ai un DM à faire et je suis bloquée dès la prémière question j'aurais besoin d'aide s'il-vous-plait

Partie A:
Dans cette partie, on se propose de résoudre le problème suivant : trouver une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0; + [, s'annulant pour  x=1 et vérifiant la propriété :

pour tout x>0 , xf'(x) - 3f(x)=3ln(x)

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. Trouver toutes les fonctions pôlynomes P du troisième dégré telles que, pour tout c réel:

xP'(x) - 3P(x)= 0


Je n'arrive meme pas à démarrer quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ? Les questions suivant j'arrive un peu mieux

Bonjour

Ecris P(x)=ax³+bx²+cx+d, puis écris que tous les coefficients du polynôme xP'(x)-3P(x) sont nuls.ca te donnera un système duquel tu pourras tirer les polynômes qui conviennent.

Merci beaucoup Camélia, alors :
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P'(x)= 3ax^2+2bx+c

Donc xP'(x)-3P(x) = x[3ax^2+2bx+c]-3[ax^3+bx^2+cx+d]=0

Tous les coefficients du polynôme sont nuls d'où :
3ax^2+2bx+c=0
ax^3+bx^2+cx+d=0

Est-ce que c'est ça , où est-ce que c'est :
x[3ax^2+2bx+c]=0
3[ax^3+bx^2+cx+d]=0 ???

Non, aptès développement xP'(x)-3P(x)=-bx²-2x-3d=0 et ce sont les coefficients de ce polynôme qui sont nuls. Ca donne b=c=d=0, donc les polynômes que tu cherches sont de la forme ax³

D'accord merci, donc comme b=c=d=0, forcément, P(x)=ax^3+bx^2+cx+d = ax^3

Pour la suite je pense que j'ai du me tromper:

2. Soit une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+[ telle que f(1)=0 et soit h la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par la relation f(x)=x³h(x)
a) Calculer h(1)
b) Calculer f'(x) en focntion de h'(x) et de h(x)
c) Montrer que f vérifie la propriété (E) si et seulement si, pour tou x>0 :
h'(x)=[3/(x⁴)].lnx
d) On suppose que f vérifie la propriété (E). Montrer que h est définie sur 'intervale ]0;+[ par :
h(x)=^x₁ [3/(t⁴)].lnt.dt
Détérminer h(x) à l'aide d'une intégration par parties.


a) f(x)=x³h(x)
donc h(x)= f(x)/x³
h(1)=f(1)/1³=0/1=0

b) f(x)=x³h(x)
   f'(x)= h'(x).x³+h(x).3x²
   f'(x)= x²[x.h'(x)+3h(x)]

c) h'(x)= [ f'(x).x³-f(x).3x²]/x⁵
Mais en dévéloppant je ne trouve pas l'expression demandée

Rebonjour

Jusqu'ici tout va bien.

Pour c): de l'avant dernière relation de b), on trouve

h'(x)=f(x)/x³-3h(x)/x=xf'(x)-3f(x)/x⁴

et tout va bien!

h'(x)= xf'(x)-3f(x)/x⁴
mais comment fait-on pour arriver à l'expression demandée (h'(x)=[3/(x⁴)].lnx ) ???

Excuse-moi j'ai des fautes de frappe.