Forum : équations différentielles :
équation différentielle TS

Bonjour,

Je suis en train de faire un excercice mais il y a des questions je nn'arrive pas à faire... Pouvez vous m'aider?

ENONCE
On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) y'-2y= 2/(1+e^(-2x))

1. PAS FAIT : Déterminer la solution de l'équation y'-2y=0 qui prend la valeur 1 en 0

2.  Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0)=ln(2) et soit g la fonction définie par l'égalité:
f(x)=e^(2x) * g(x)

a. FAIT : calculer g(0)
=> je trouve g(0)=ln(2)

b. FAIT : calcluler f'(x) en fonction de g'(x) et de g(x)
=> je trouve: f'(x)= e^(2x)*ln(2)

c. PAS FAIT: montrer que f est solution de (E) si et seulement si: g'(x)= (-2e^(-2x))/(1+e^(-2x))

d. PAS FAIT: en déduire l'expression de g(x) puis celle de f(x) de telle sorte que f soit solution de (E)

Bonsoir,

Pour la question 1, c'est une application pure de ton cours !

Les fonctions solutions de l'équation différentielle y'=ay sont de la forme y(x)=ke^(ax) avec k constante réelle quelconque.

Cependant, on te demande UNE fonction : celle qui vérifie f(0)=1. Cette condition initiale te permet de déterminer la constante k.

Pour la question 2b, je ne comprends pas ta réponse. On te demande d'exprimer f'(x) en fonction de g'(x) et g(x) et toi tu réponds f'(x)=e^(2x)*ln(2) ?

f est le produit de deux fonctions, utilise la formule de dérivation d'un produit : c'est-à-dire f'(x)=2e^(2x)*g(x)+e^(2x)*g'(x).

Pour la question c es-tu sûr de l'expression de g'(x) que tu dois trouver ? N'aurais-tu pas fait une faute de frappe.

Moi je trouve :

f est solution de (E) si et seulement si

f'-2f=2/(1+e^(-2x))
2e^(2x)g(x)+e^(2x)-2e^(2x)g(x)=2/(1+e^(-2x))  (ceci d'après la question 2b)
g'(x)=(2e^(-2x))/(1+e^(-2x))