Similitudes et cercles inscrits

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

Bonsoir à vous tous

J'ai un exercice en spécialité maths. Tout d'abordje vous explique ma figure. Là elle est "parfaite" dans le sens où AC=AB mais en réalité ce n'est pas ça, donc I n'est pas sur [AH] ( les c , d , e sont les noms des cercles). Sinon :
c'est un triangle ABC rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.

Mon problème est de démontrer qu'il existe une similitude directe S telle que l'image du triangle HAB soit le triangle HAC. Déterminer son centre et son angle .
Mais je ne sais pas comment on démontre qu'il existe une similitude ! Si quelqu'un peut m'aider ,merci d'avance!

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

j'ai vraiment besoin d'aide, j'ai une interrogation écrite demain et j'aimerais savoir comment résoudre ça

Posté par watik watik

bonjour

peux-tu donner stp l'énoncé complet.
c'est quoi I
lorsque tu dis là elle est parfaite tu voulais dire en réalité elle ne l'est pas mais c'est ton dessin qui est fait

Sinon si tu n'as pas le temps de donner ton énoncé voici qq indication

Une similitude directe conserve le sens des angles.
Tu remarqueras que lorsque tu as écrit HAB tu porcours le triangle HAB dans le sens trigonométrique et ce sens n'est pas celui du triangle HAC.

C'est pourquoi je te demande l'énoncé complet stp

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

c'est l'énoncé complet ! je reste des informations est donnée dans les questions suivantes , ce qui signifie qu'elle ne sont pas nécessaire pour cette question

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

mon dessin est parfait parce que AB=AC mais realite AB n'est pas égal à AC , c'est parce que je l'est fait avec geogebra et en faite j'ai creer le point C par rotation de 90° et ça a conserver les longueurs voilà pour la petite explication du dessin

Posté par sloreviv sloreviv

bonjour,
je pense que Cerizement-votre veut dire HAB et HCA directement semblables certains enoncés ne font pas gaffe à l'ordre des lettres , moi j'essaie d'en tenir compte!

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
quand on énonce deux triangles semblables, il faut citer les sommets homologues (corrspondants) dans le même ordre : ici HAB et HCA et non HAC
le triangle HAB se transforme en triangle HCA par une rotation de -90 degrés de centre H, suivie d'une homothétie de centre H et de rapport HA/HB

Posté par pgeod pgeod

bonsoir,

les triangles HCA et HAB sont semblables car leurs angles sont 2 à 2 égaux.
et donc HC/HA = CA/AB = HA/HB

le point A est le transformé de C, le point B est le transformé de A, par la composée de :
- une rotation de centre H et d'angle +pi/2;
- un homothétie de centre H et de rapport AB/AC

cette composée est une similitude directe de centre H, d'angle +pi/2 et de rapport AB/AC

...

Posté par pgeod pgeod

bonjour à tous.

Posté par pgeod pgeod

Pour répondre exactement à la question, comme l'a fait plumemeteore,
la similitude direct qui transforme HAB en HCA, est la transformation
inverse de celle que je viens de donner, soit donc :

une similitude directe de centre H, d'angle -pi/2 et de rapport AC/AB.

...

Posté par watik watik

soit s la similitude directe qui transforme HAB en HAC

s(h)=h  , donc h est le point fixe

s(z)-h=p(z-h)  où p  est un complexe à déterminer
|p|=rapport de s et arg(p)=angle de s

alors

s(a)=c et s(b)=a

car s conserve le sens des angles puisqu'elle directe.

donc

c-h=p(a-h)    (1)
a-h=p(b-h)    (2)

de (1) tu tires:
h(1-p)=c-pa
h=(c-pa)/(1-p) ; p différent de 1

tu remplaces dans (2)

a-(c-pa)/(1-p)=p(b-(c-pa)/(1-p))

(a(1-p)-c+pa)/(1-p)=p(b(1-p)-c+pa)/(1-p)

(a-c)=p(b-c+p(a-b))
(a-b)p²+p(b-c)+(c-a)=0

donc p est solution de cette équation de second degré

tu sais que p existe et qu'il en a deux sauf si Délta=0 auquel cas p est unique.

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

Maintenant je comprends. Desole pour l'ordre des lettres , a présent je ferais attention.
J'ai une autre question : J et K sont les centres des cercles inscrits dans les triangles HAB et HAC . Il faut justifier que S(J)=K et démontrer que (BJ) et (AK) sont perpendiculaires. Mais on ne connait pas S(J) ? il faut utiliser la similitude précedente ?

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

Waw ! j'avais tout compris et Watik m'a embrouillé l'esprit

Posté par plumemeteore plumemeteore

rebonsoir
de B, traçons la perpendiculaire à (AK) qui coupe celle-ci en M et (AH) en M
le triangle BHL est rectangle en H; donc l'angle LBH a pour complément l'angle HLB
le triangle ALM est rectangle en M; donc l'angle LAM a pour complément l'angle ALM
les angles LBH et LAM sont égaux car ils ont pour compléments respectifs deux angles opposés par le sommet égaux
angle ABC = angle HAC car ils ont le même complément, l'angle ACB
angle LAM = angle HAC/2
angle LBH = angle LAM = angle HAC/2 = angle ABC/2
la perpendiculaire de B à (AK) est la bissectrice de l'angle ABC, qui passe par J : (BJ) est perpendiculaire à (AK)

(théorème : deux angles aigus ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux)

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

?

Posté par pgeod pgeod

En utilisant la similitude d'angle -pi/2:

par la similitude S,
B est transformé en A et J est transformé en K,
donc (BJ) est transformé en (AK),
et donc (BJ) perpendiculaire à (AK).

...

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

pk J est transformé en K ?

Posté par pgeod pgeod


Re :

parce que le triangle HAB est transformé en HCA,
et donc l'image du cercle inscrit à HAB est le cercle inscrit à HCA,
que donc l'image du centre du cercle inscrit à HAB est le centre du cercle inscrit à HCA.

...

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

Je comprends mieux ! Le fait qu'il n'ont pas la meme taille n'ont donc pas d'importance ? Par contre , il y a I le centre inscrit du triangle ABC , je dois démontrer que B, J et I sont alignés . Ca je laisse de coté parce que je n'y arrive pas. Mais il faut aussi dire ce que représente I pr le triangle AJK ? j'ai essayer plusieurs trucs, et en faisant les hauteurs du triangle AJK (qui passent également par les sommets du triangle ABC) j'ai vu que I était l'intersection des hauteurs ! J'en conclut que c'est l'orthocentre . Mais comment le prouver  ?

Posté par pgeod pgeod

Re : ta conjecture est bonne.

1° remarque :

(CK) est une bissectrice de l'angle C, car J centre du cercle inscrit à HAB
(BJ) est une bissectrice de langle B, car K centre du cercle inscrit à HCA
donc I, centre du cercle inscrit à ABC, est à l'intersection de (CK) et (BJ).

2° remarque :

par ailleurs, (BJ) est tansformé en (AK) par la similitude S
de la même manière (JA) est tansformé en (KC) par la similitude S

et donc (BJ) perpendiculaire (AK) et (JA) perpendiculaire à (KC)
et donc (BJ) et (CK) hauteurs du triangles AJK
et comme (BJ) et (CK) s'intersectent en I
I est l'orthocentre du triangle AJK.

...

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

merci pgeod pr ton aide

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

qui peut m'aider à demontrer que b, k et i sont aligné ?

Posté par sloreviv sloreviv

BKI ou BJI?
BJI sont tous les trois sur la bissectrice de l'angle B

Posté par sloreviv sloreviv

voila

Posté par Cerizement-votre Cerizement-votre

oui cest bien BJI. Mais comment sais tu qu'ils sont tous les 3 sur la bissectrice de l'angle B ? C'est une hypothèse ?

Posté par sloreviv sloreviv

centre du cercle inscrit= point de rencontres des bissectrices!

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonsoir
on peut prouver que (BJ) et (AK) (dans la première figure) sont perpendiculaires sans faire appel à aucune transformation; car on peut prouver que la droite d passant par B et perpendiculaire à (AK) est la bissectrice de l'angle ABC et donc passe par le centre J du centre circonscrit au triangle AHB

Posté par lune et etoile lune et etoile

bonsoir pgeod
ta manière d'expliquer est trés accessible ; simple et explicite.
je t'avoue que la similitude (horsdu plan complexe) me présente des dificultés mais là j'ai suivi avec attention tes explications et j'ai bien compris

Posté par pgeod pgeod

>> lune et etoile

Posté par lune et etoile lune et etoile

une question se pose puisque le triangle ABC n'est pas isocèle;comment se fait -il que la rotation de centre H et d'angle pi/2 ,qui transforme C en A  ne nous donne pas HC=CA d'une part et d'autre part , par l'homothétie de centre H,nous n'avons pas les points B,HetA alignés

Posté par pgeod pgeod

>> lune et étoile

Peux-tu préciser. J'ai du mal à comprendre quelle est ton interrogation.

La similitude de centre H et d'angle pi/2 transforme H en H
La similitude de centre H et d'angle pi/2 transforme A en C
donc La similitude transforme la droite (HA) en (HC)
les doites (HA) et (HC) sont perpendiculaires
les longueurs HA et HC ne sont pas égales :
leur rapport HC/HA est égale au rapport de l'homothétie,
et ici le rapport n'est pas égale à 1.

...

Posté par lune et etoile lune et etoile

désolée de ne pas t'avoir répondu plus tôt
cette derniere explication est plus convaincante cependant celle concernant la décomposition de la similitude en un produit d'une rotation et d'une homothétie(qui est une réalité) me laisse un peu  ...?;ceque je ne comprend pas c'est que la rotation de centre H et d'angle pi/2 ,qui transforme A en C nousdonne HA=HB et par voie de conséquence le triangle AHC est un triangle rectangle et isocèle :l'angle C =pi/4 ;et si C =pi/4 ,l'angle B=pi/4 or le triangle ABC n'est pas isocèle.
la question est :quelle est la bonne décomposition,ce que je veuxdire la rotation transforme quel point en quel point de même pour l'homothétie
merci pgeod

Posté par sloreviv sloreviv

ca me parait faux !c'est une composee d'homothetie -rotation de centres H toutes deux qui transforme A en C au passage je vois que je me suis tropmpe de lettres dans la figure mon A est en fait un C et mon o est en fait un A

Posté par sloreviv sloreviv

lapsus
ca me parait faux !c'est une composee d'homothetie -rotation de centres H toutes deux qui transforme A en C au passage je vois que je me suis tropmpe de lettres dans la figure mon A est en fait un C et mon o est en fait un A

Posté par lune et etoile lune et etoile

je répète ma question si on devait décomposer cette similitude en un produit d'homothétie-rotation : quelle est la bonne décomposition?

Posté par lune et etoile lune et etoile

j'avais oublié de te dire slorevic que le schéma était parfait et que j'ai tenu compte de l'emplacement des points

Posté par sloreviv sloreviv

selon un msg de 20.15 voir pgeod ou plumeteore relis un cours de similitude directe