Forum : arithmétique :
carrés parfaits

slt tt le monde ! Ca fait longtps que je ne suis pas venue mis là j'ai besoin d'aide pour un exo .
On s'interesse aux entiers naturels u et v tels que u et u+v soient des carrées parfaits. Le but est de déterminer s'il est possible de déterminer u connaissant v et si u est unique.

Il faut d'abord voir le cas où v=7 puis le cas où v=8
je ne vois pas comment faire , si il y aurait que u+v soient un carré parfait ça irait, mais là il faut que u aussi le soit ! ! je ne vois vraimennt pas comment résoudre ça !  Jespere que vous pourriez m'aider !

ça me fait penser aux triangles de Pythagore, où on cherche 3 entiers a, b, c tels que a²+b²=c²

Pose donc u+v=c², u=a², alors v=c²-a²=(c-a)(c+a)
donc, connaissant v, tu peux rechercher s'il peut s'écrire sous cette forme d'un produit de 2 facteurs.

déjà, v=7, ça ne se peut pas, car 7 est un nombre premier,
v=8=(3-1)(3+1), alors il existe une solution, et il facile de montrer que c'est la seule :
c=3, a=1, u=a²=1, u+v=9

Inversement, si tu choisis n'importe quel entier a>=0, et n'importe quel entier c>=a, tu auras une solution.
exemple : a=5, c=12
alors
v=(12-5)(12+5)=7*17=119
u=5^2=25
u+v=119+25=144=12²

Je crois que 9 +7= 16 vérifie le problème

Ah d'accord ! donc quand c'est un nombre premier c'est impossible . Comment fait-on pour étudier le cas général ? J'ai penser a utiliser :
u+v=c²
u=a²
v=c²-a²=(c-a)(c+a) mais on ne connait pas u donc on ne connait ni a , ni c :/ ce serait par conséquent, pas une étude du cas général

personne ne sait ?

Pour dormelles, tu poses u=9, u+v=16, alors v=16-9=(4-3)(4+3)=7. Oui, c'est une solution, effectivement. Ici, c-a=1. Alors c+a=v=2a+1=2c-1, et u=(c-1)², u+v=c²
Le nombre premier 7 s'écrit aussi 1*7, j'avais omis cette solution.

Pour Baby : ma réponse est dans mon message de 19:42 : toutes les solutions sont obtenues en prenant n'importe quel nombre a>=0 et n'importe quel nombre c>=a. v=(c-a)(c+a)=c²-a², u=a², alors u+v=c².

La réponse de dhalte ne répond pas exactement à la question.

citation :
Le but est de déterminer s'il est possible de déterminer u connaissant v et si u est unique

Il faut partir de la connaissance de v et non de celle de a et c

Mais c'est évident !
si tu connais v, tu cherches à l'écrire sous la forme v=(c-a)(c+a). Mon exposé affirme seulement qu'il est inutile de chercher d'autres formes, car seules celles-ci sont solution.

v=15=3*5
posons 3=c-a
5=c+a
ce qui donne
c=4
a=1
et donc u=1²=1, u+v=4²=16

Remarque : il peut y avoir plusieurs solutions
v=48=6*8=3*16
selon la décomposition que l'on choisit, on obtiendra des valeurs différentes de a et c, et donc de u et u+v

Tu oublies de dire que la décomposition doit être le produit de nombres de même parité. Essaie avec 3*16 !!
Pour v=15 tu oublies 1*15 ce qui donne u =49 et u+v=64.
On n'est pas encore à la solution complète.

Attends, je n'ai pas soutenu que tout nombre v devait amener à (au moins) une solution.

On n'est pas à l'armée du Salut, et j'estime qu'un peu de réflexion doit rester nécessaire pour que celui qui a posé la question finisse par rédiger la réponse finale.

Par contre, si tu veux te lancer dans une thèse sur la question, libre à toi...