une somme de fractions

Posté par Baudelaire Baudelaire

Bonsoir, voici un petit problème d'arithmétique que je ne sais pas par quel bout prendre:

  "montrer que la somme n'est jamais un entier pour n>1."

Posté par gui_tou gui_tou

Bonsoir,

Une récurrence ferait l'affaire, non ?

Posté par Baudelaire Baudelaire

Je veux bien, mais je vois pas quelle pourrait être l'hypothèse >.<

Posté par Baudelaire Baudelaire

enfin je vois à peu près ce que tu veux dire, merci pour l'indication

Posté par gui_tou gui_tou

Je définirais la propriété, pour tout ^^

Posté par Baudelaire Baudelaire

et si par exemple où k est un entier??

Posté par gui_tou gui_tou

d'où elle sort cette formule ?

Mais oui, si k et n sont des entiers (n non nul), alors comme , alors

Posté par Baudelaire Baudelaire

et ajoute le terme , et ton hypothèse est contredite

Posté par gui_tou gui_tou

lol oui ... et ?

Posté par Baudelaire Baudelaire

donc le fait que la somme au rang n n'est pas un entier n'implique pas a priori aqu'au rang n+1 elle n'est pas un entier ^^

Posté par gui_tou gui_tou

Bien vu
Je réfléchis...

Posté par gui_tou gui_tou

Bel exo en fait ^^

Posté par Baudelaire Baudelaire

oui je sais ça fait plusieurs jour que je cherche(je suis en master)... Et je ne sais pas de quel niveau il est en plus!

Posté par gui_tou gui_tou

Le raisonnement par l'absurde nous tend les bras..

Supposons que : ... je te laisse trouver la contradiction

Posté par disdrometre disdrometre

salut Lucky et Baudelaire

je propose un encadrement !

Posté par gui_tou gui_tou

Bien vu Jolly !

Posté par Baudelaire Baudelaire

Salut disdrometre, mais je vois pas le rapport ^^

Posté par disdrometre disdrometre

exact ce sont inégalités stricts



reste à démontrer qu'aucun intervalles ]ln(p+1)-ln(2),ln(p+1)[

ne contient pas d'entier !  

Posté par disdrometre disdrometre

]ln(p+1)-ln(2),ln(p)[

Posté par gui_tou gui_tou

Baudelaire >>



or pour tout , donc ...

Posté par gui_tou gui_tou

donc ... on ne peut rien dire lol

Posté par gui_tou gui_tou

Sinon, on peut montrer par récurrence que le numérateur de est toujours impair , et que le dénominateur est pair.

Posté par Fractal Fractal

Bonjour

Une méthode consiste à montrer que le numérateur est pair alors que le dénominateur est impair, ou plus précisément que la valuation dyadique du numérateur est strictement supérieure à celle du dénominateur.
Je ne me rappelle plus exactement l'hypothèse de récurrence à faire ni comment le montrer mais je sais qu'on peut s'en sortir comme ça

Fractal

Posté par Baudelaire Baudelaire

Fractal, le dénominateur est paire si n=2!
Bon de mon côté j'ai trouvé une méthode peut orthodoxe(récurrence+postulat de Bertrand) qui semble marcher. Je ne vois pas comment le prouver avec tes indications gui_tou.

Posté par gui_tou gui_tou

fractal voulait dire :




sauf erreur

Posté par Baudelaire Baudelaire

oui l'hypothèse est vraie et je conclus seulement sur la parité de si je suppose

Posté par Baudelaire Baudelaire

je voulais dire la parité de n

Posté par Baudelaire Baudelaire

arf désolé, ok c tout bête je devrais aller me coucher T.T
merci Fractal et Gui_tou

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

j'avais posté deux démos ici:

Posté par gui_tou gui_tou

Démontré pour la première fois par le hongrois Kurschak.

Une démo généralisée ici

Posté par Camélia Camélia

Bonjour à tous!

> Cauchy Ca nous rajeunit, hein? Félicitations, tiens-nous au courant pour la suite... sur laquelle je n'ai aucun doute!

Posté par gui_tou gui_tou

Bonjour

Je détaille mes recherches :


Théorème de Kurschak (1918)



Démonstration :

On obtient un entier pour et on va voir que c'est le seul cas.
Supposons . L'idée consiste à regarder la valuation 2-adique des entiers entre et .

On peut supposer car n'est pas un entier pour .

Soit . On a car il y a au moins un entier pair entre et . En fait le point essentiel est que la valuation 2-adique maximale n'est atteinte qu'une et une seule fois.

En effet, supposons qu'il existe deux entiers et avec et et

Alors appartient à et est de valuation 2-adique supérieure ou égale à ce qui contredit la définition de .

Il en résulte que le représentant irréductible de la somme est de la forme où et sont impairs.

Ce qui prouve que la somme en question n'est pas un entier.

Posté par simon92 simon92

j'avais déjà rencontré ce problème, et il y a même une quesiton subsidiaire^^ Pourquelles valeurs de et a t'on

Si je ne m'amuse, la solution page 99 numéro 64:

Posté par simon92 simon92

oula j'ai pas lu le post de guitou XD

Posté par gui_tou gui_tou

Simon c'est ma démo, y a que pour m=n=1.

Posté par simon92 simon92

oui c'est ce que j'ai dit, j'ai lu les 10 premiers posts et après ca m'a souler, je suis aller direct a la fin sans lire ton truc

Posté par lafol lafol

Bonsoir
simon, ça fait deux fois que je le vois aujourd'hui :

on dit plutôt : si je ne m'abuse

Posté par simon92 simon92

hello,
je le sais, c'est fait exprès