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leçon sur les suites

Bonjour je viens à mon tour demander un peu d'aide pour mes leçons. Merci par avance .
Je travaille actuellement sur la leçon 55 " Etude des suites de terme général a^n, n^b et n! avec aEC , bER n E N*...
J'ai un problème pour les suites de terme général a^n avec a E C et n E N*
Je ne connais pas les suites complexes donc je ne sais pas ce que j'ai le droit de dire.
Ai-je le droit de dire que la suite (un) de terme général a^n est géométrique de raison a ?
Pour moi oui car quelque soit n E N u(n+1)=a^(n+1)=a*a^n=a*u(n) mais comme c'est des complexes...

est ce qu'on peut parler de suites complexes croissante, décroissante?

En fait mon problème se trouve dans le théorème suivant

thm1: Soit aEC et (un) la suite définie par quelque soit n EN , un=a^n
1) si |a| > 1 la suite (a^n) est croissante et diverge vers +
est ce que c'est vrai? mais est ce qu'on peut comparer des suites complexes?
2) si a=1 , a^n=1 pour tout n
et si |a|=1 ?
3) Si |a|<1 alors lim a^n=0 . De plus (un) est décroissante si 0<=a<1
4) Si a=-1, la suite (a^n) diverge et prend 2 seules valeurs 1 si n est pair , -1 si n est impair
5) Si a<-1 , la suite (a^n) dvg. Plus précisément, (a^2k) tend vers + et (a^2k+1) tend vers -

est ce que vous pourriez me corriger s'il vous plait? merci car je suis un peu perdue avec les modules, je ne sais pas du tout ce que je dois écrire.
Merci

Bonjour

Si |a|>1, tout ce que l'on peut dire c'est que |a|ⁿ tedn vers +, ce qui assure que la suite aⁿ est divergente, mais c'est tout. Si a est réel il est clair que la suite tend vers +.

Si |a|=1, la suite ne converge que pour a=1. Si , la suite est périodique si t est rationnel et l'ensemble de ses valeurs est dense dans le cercle unité si t est irrationnel.

Dans 5) je suppose que a est réel?

Bonjour merci pour votre aide alors si je vous comprends alors le mieux serait que je sépare a réel et a complexe c'est bien çà?
Si a est complexe alors
si |a|>1,|a|n tend vers + donc a^n est divergente
si |a|=1 (a^n) la suite ne converge pas (sauf si a est constant égale à 1 mais c'est dans le cas réel)
Si |a|<1 alors lim a^n=0 donc (a^n) converge?

Si a est réel alors
si a > 1 la suite (a^n) est croissante et diverge vers +
si a=1 (a^n) est constante égale à 1
si -1< a < 1 la suite converge vers 0
         elle est décroissante si 0<a<1
         elle est constante si a=0
         si -1<a<0 elle est comment s'il vous plait? est ce que çà a un nom ?
Si a=-1, la suite (a^n) diverge et prend 2 seules valeurs 1 si n est pair , -1 si n est impair
Si a<-1 , la suite (a^n) dvg. Plus précisément, (a^2k) tend vers + et (a^2k+1) tend vers -

merci

Excusez moi mais pourriez vous m'expliquer pourquoi si |a|=1 la suite (a^n) ne converge pas
merci (dans le cas où a est un complexe)

bonjour,
ex avec a=i les valeurs de lasuite sont peridiques :1;i;-1;-i;1;i;-1;-i;1.....donc la suite ne "s"approche d'aucun nombre particulier  

Bonjour

citation :
mais est ce qu'on peut comparer des suites complexes ?

si on veut un ordre compatible avec la structure de corps, non : dans C, tous les nombres étant des carrés, la règle des signes ferait que tous les nombres seraient positifs, ce qui empêche de définir a < b ssi a-b négatif ....
Du coup, sans relation d'ordre, les notions de croissance décroissance n'existent pas non plus ...

on peut définir des ordres (lexicographique par exemple), mais comme ils sont incompatibles avec la structure de corps, ils ne sont guère intéressants.

Merci à sloreviv et lafol pour votre aide
mais si çà ne vous dérange pas je n'arrive pas à comprendre comment je peux démontrer tout çà
J'ai ma suite a^n avec a complexe donc a= R*exp(it) où R = |a| et t = argument(a) donc
a^n = |a|^n * exp (int)
pour déterminer si elle converge ou non je dois déterminer la limite en + je ne me trompe pas?
dans le 1er cas |a|<1 donc lim |a|^n = 0
dans le 2ème cas |a|=1 donc lim |a|^n = 1
dans le 3ème cas |a|>1 donc lim |a|^n = +
mais comment je calcule la lim de exp (int) en + parce que çà ne peut pas être + sinon ma suite divergerait dans tous les cas...

je suis désolé mais j'ai vraiment du mal à comprendre
merci pour votre aide

im de exp (int)n'existe pas sauf si t=2kpi; k entier

lim de exp (int)n'existe pas sauf si t=2kpi; k entier

Bonjour merci pour votre réponse...elle ne m'arrange pas trop !
Auriez vous un moyen de m'aider s'il vous plait?
Merci
bonne journée

De façon élémentaire, si a^n convergeait, disons vers l, alors a^(n+1) tendrait d'une part vers l (en tant que suite extraite de (a^n), et d'autre part verl a.l, puique a^(n+1)=a.a^n.

Par unicité de la limite, on devrait donc avoir l=al, donc (lorsque a<>1) : l=0. C'est impossible puisque la relation |a^n|=1 fournit par passage à la limite : |l|=1.

Cordialement...

bonsoir plof j'ai compris ! merci beaucoup