aire sous une parabole

Posté par kirikou23 kirikou23


Bonjour
pourriez vous m'aider pour mon devoir de maths s'il vous plait je vous remercie d'avance.

C  est la courbe représentant, dans un repère orthogonal, la fonction f définie sur [0;1] par : f(x) = x². On cherche à évaluer l'aire A du "domaine situé sous la C". c'est à dire limité par C , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 1. On note E ce domaine.
L'aire sera calculée en fonction d'une unité d'aire, notée 1 U.A., définie par le rectangle OIKJ.


a) On subdivise l'intervalle [0;1] en n intervalles de longueur 1/n, où n appartient l'ensemble  N, à l'aide des nombres a indice o = 0, a1 = 1/n, a2 = 2/n, ..., an = n/n = 1.
b) On construit sur chaque intervalle [ak ; a indice (k+1)] ou k appartient {0,1,...,n-1} les rectangles Rk et R'k de hauteurs respectives f(ak) et f(a indice (k+1)).
c) On note Un et Vn les sommes respectives des aires des rectangles Rk et R'k.

d) pour n = 4
     i. Exprimer les sommes U4 et V4 en fonction des réels f(a0), f(a1) f(a2) f(a3) et (a4).
ici j'ai trouvé la réponse
    ii. En déduire un encadrement de A par deux décimaux d'ordre 2.
ici j'ai remplacé par des valeurs les formes trouvées et j'ai : (7/32)inférieur ou égale à A inférieur ou égale à (15/32) mais je suis pas sûre que ce soit bon.

e) Pour n quelconque
     i. Montrer que, dans le cas général, on a  : Un = 1/n [f(a0) + f(a1) +.....+ f (a indice(n-1))] et  Vn = 1/n [f(a1)+f(a2) +...+f(an)]
pour cette question je vois pas du tout
     ii. Etablir par récurrence que              
[n][k=1] k² = (n(n+1) (2n+1))/6
la j'ai vérifié pour 0
mais après pour passer de n à n+1 je suis pas sûre
   iii; Calculer Un et Vn en fonction de n
la j'ai repris les valeurs de la question i et de la question ii
     iv. Montrer que ces deux suites convergent vers la même limite
pour cette question je vois pas du tout
     v. En déduire la valeur exacte de A.
pour cette question je vois pas du tout

Posté par kirikou23 kirikou23

pourriez vous m'aider s'il vous plait.

Posté par sloreviv sloreviv

0.25*(0+0.25²+0.5²+0.75²)=(1+9+4)/64=7/32
0.25*(0.25²+0.5²+0.75²+1²)=15/32

Posté par sloreviv sloreviv

u_n={1\over n}\times (0^2+{1/over n}^2+{2/over n}^2+{3/over n}^2+...{n-1\over n}^2)={1\over n^3}\times (1^2+2^2+3^2...+(n-1)^2))

Posté par sloreviv sloreviv

je quitte pour un moment!bon courage!

Posté par kirikou23 kirikou23

merci beaucoup sloreviv de m'avoir aidé mais j'ai encore quelques problémes.
pour la récurrence je suis passé de de n à n+1 juste en changeant le chiffre au dessus de et j'ai changé la somme à côté.

sinon comment pouvons nous montrer qu'une suite converge vers une limite

Posté par kirikou23 kirikou23

Posté par kirikou23 kirikou23

pourriez vous m'aider s'il vous plait.

Posté par sloreviv sloreviv

en developpant donc si l'une tend vers L l'autre tend vers L+0=L et on voit bien que tend vers

Posté par sloreviv sloreviv

A etant compris entre les aires mesurees par et ceci poutr tout n ; A= la limite commune de ces deux suites A=1/3

Posté par sloreviv sloreviv

je dois m'arreter un moment si tuas des pb sans reponse , j'y repondrai avant minuit j'espere!

Posté par kirikou23 kirikou23

en fait il y a une deuxième partie à mon devoir ... et il y a certaines  questions que je n'arrive pas à résoudre.


  

Soit f une fonction continue, positive et croissante sur [a,b]
On donne ci-contre sa courbe représentative C dans un repère orthogonal du plan.  L'unité d'aire est l'aire du rectangle unité hachuré.
A tout réel x0 de [a,b], on associe l'aire S (x0) du domaine limité par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = x0.
1 - Reproduire la figure
ça c'est bon
2- Soit h un réel strictement positif
a- Hachurer le domaine dont l'aire est S(x0+h) - S(x0)
je suis pas sûre (cf figure en rouge )
b- Montrer que h f(x0) inférieur ou égale S(x0 +h) - S(x0) inférieur ou égale hf  (x0 +h)
là je ne vois pas du tout
c- Déterminer lim en h tend vers 0 avec h supérieur à 0  =(S (x0+h) - S (x0)) / h
là je ne vois pas du tout

3- Soit h un réel strictement négatif
a- hachurer le domaine dont l'aire est S(x0) - s(x0+h)
(cf figure en vert  je suis pas sûre)
b- Encadrer S(x0) - S S (x0+h)
ce serait pas comme à la 2b avec des négatifs ?
c- Déterminer lim en h tend vers 0 avec h inférieur à 0  =(S (x0+h) - S (x0)) / h

4- En déduire que la fonction S est dérivable en x0 préciser S'(x0)
elle est dérivable( aux questions 2c et 3c les deux formules ce sont les dérivés de la fonction)
on redonne la formule sur le cours et on remplace et ce que cela suffit ?
5- Que peut-on en déduire ?
là je ne vois pas

je vous remercie d'avance.

Posté par kirikou23 kirikou23

j'ai réalisé une image mais je n'arrive pas à la joindre au message.

Posté par sloreviv sloreviv

j'ai fait un dessin ...pas tout a fait ce que je veux... A d'abscisse C d'abscisse , on y voit trois aires:
un petit rectangle , d'aire f(x0)*h ,
un grand rectangle d'aire f(x0+h)*h
et la surface sous la courbe pour x entre x0 et x0+h d'aire S(x0+h)-S(x0) donc b) et c)
f(x0)*h<= S(x0+h)-S(x0) <= f(x0+h)*h
comme h>0 divisons par h
or quand h tend vers 0 +, vu que f est continue les deux gendarmes f(x0), f(x0+h) tendent vers f(x0) donc la limite cherchée est f(x0) .
3) idem tu n'as qu'a dire x_0 sur le dessin est l'abscisse de C cette fois ci et x_0 est l'abscisse de A (je garde le meme dessin ) f(x0+h)*(-h)<= S(x0)- S(x0+h) <= f(x0)*(-h)
on divise par -h qui est positif
donc

or quand h tend vers 0 +- vu que f est continue les deux gendarmes f(x0), f(x0+h) tendent vers f(x0) donc la limite cherchée est f(x0) .
4) S'(x0)=f(x0)
S est la primitive de f qui vaut 0 pour x=a

Posté par sloreviv sloreviv

lapsus au 3)
3) idem tu n'as qu'a dire x_0 sur le dessin est l'abscisse de C cette fois ci et x_0+h est l'abscisse de A (je garde le meme dessin ) f(x0+h)*(-h)<= S(x0)- S(x0+h) <= f(x0)*(-h)
on divise par -h qui est positif
donc

or quand h tend vers 0 - vu que f est continue les deux gendarmes f(x0), f(x0+h) tendent vers f(x0) donc la limite cherchée est f(x0) .

Posté par sloreviv sloreviv

dernier lapsus au 3)
3) idem tu n'as qu'a dire x_0 sur le dessin est l'abscisse de C cette fois ci et x_0+h est l'abscisse de A (je garde le meme dessin ) f(x0+h)*(-h)<= S(x0)- S(x0+h) <= f(x0)*(-h)
on divise par -h qui est positif
donc

or quand h tend vers 0 - vu que f est continue les deux gendarmes f(x0), f(x0+h) tendent vers f(x0) donc la limite cherchée est f(x0) .

Posté par kirikou23 kirikou23

je vous remercie de m'avoir aidé je continue d'etudier le problème.

Posté par kirikou23 kirikou23

pour la question 2)a)  la surface à hachurer est la surface DACE (sachant que A à pour abscisse xo et C à pour abscisse xo+h).

Posté par kirikou23 kirikou23

pourriez vous m'aider s'il vous plait

Posté par kirikou23 kirikou23

pour la 4) on déduit que la fonction est dérivable grâce aux limites qui tendent toutes les deux vers +l'infinie ? et pourquoi S'(x0)=f(x0)?

Posté par kirikou23 kirikou23

pourriez vous m'aider s'il vous plait

Posté par kirikou23 kirikou23

tooujours personneeee