Exo Suite et integration

Posté par 01012007 01012007

voill bonjour je bloque totallement sr cet exercice:
soit U la suite def pr tout entier n non nul par Un= 0 /2 sin^n(x)dx
1) a. démontrer que pour tou n de N* Un>0
   b. etudier le sens de variation de la suite U
   c. en deduire que la suite U est convergente.

alors deja comment puis je la visualiser sur ma calcullette cette suite? parce que impossible :s

pour la question a j'ai une idée est ce cela?
je dis que la fonction x-> sin (x) est continue et positive sur R dnc sr 0 /2 et que les puissances valident cette obsevation donc d'apres les proprietés de l'integrale Un>0
je ne pense que cela est bon faudrait il plutot utiliser une récurrence?

pour l b
je fais Un+1-Un mais la je bloque je n'arrive pas a manipuler ces integrales..
pouvez vous m'aider?

Posté par watik watik

bonjour

a)
ton raisonnement est le bon mais il manque de rigueure et précision

la fonction sin est continue sur R mais elle n'est pas positive sur R elle l'est sur [0,Pi/2]
deuxième remarque lorsque tu intègles les inégalités deviennent larges

b) pour la croissance tu peux étudier le signe de U(n+1)-Un

U(n+1)-Un=Int(0àPi/2)(sinx -1)(sinx)^ndx

comme sinx-1<=0 et (Sinx)^n>=0 donc U(n+1)-Un<=0 donc U est décroissante

c) tu conclus donc

Posté par 01012007 01012007

a meci beaucoup donc pour le c
comme u>0 et U est decroissante alors U est convergente et converge vers 0 c'est ca?

ensuite je dois repondre à :
2 T est un réel de ]0;pi/2[
a) justifier l'egalité Un= int(0, (pi/2 - T) sin x dx + int (pi/2 - T; pi/2) (sin)^n(x)
j'ai justifié en utilsant la relation de Chasles, je pense que c'est bon

b) en deduire que Un<= (pi/2 -T)sin^n(pi/2-T) + T
la je ne vois pas du tout comment m'y prendre
pouvez vous me donner des pistes?