Forum : équations différentielles :
système différentiel

Bonjour, j'ai un DM a faire, entre autre sur les équadiff, et je n'arrive pas a commencer l'exercice...


Résoudre le système différentiel (la variable est t) :

x' = 0.6x + 0.8y   (E1)
y' = 0.4x + 0.2y   (E2)
x(0) = 1
y(0) = 0



Je pensais isoler y dans (E1) et x dans (E2) et dériver puis remplacer mais je n'arrive pas a me retrouver avec un type d'équadiff vu dans le cours (y' = ay...)
J'ai aussi essayer de faire des différences x' - y' pour voir ce que ça faisait mais ça ne donne rien.


J'ai regardé un peu sur internet mais ça n'a pas l'air d'être de notre niveau si je me trompes pas ce genre de système différentiel !!

En tout cas, merci

Salut

tu connais les equa diff en y'' ?
dérive la 2ième equa diff et tu trouves :
y''=0.4(0.6x+0.8y)+0.2y'
y''=0.6*0.4x + 0.4*0.8y+0.2y'

or 0.4x=y'-0.2y
donc
y''=0.6(y'-0.2y)+0.4*0.8y+0.2y'

et tu peux résoudre celle-ci pour trouver la forme générale de y, d'où par substitution une autre équa diff en x', et avec les valeurs aux bornes, trouver les fonctions définitives.

y''=0.4(0.6x+0.8y)+0.2y'
y''= 0,6*0,4x + 0,32y + 0,2y'
avec 0,4x = y'-0,2y -->
y''= 0,6*(y'-0,2y )+ 0,32y + 0,2y'

y'' = 0,8y' + 0,2y
y'' - 0,8y' - 0,2y = 0

p² - 0,8p - 0,2 = 0
p = -0.2 et p = 1

y = A.e^(-0,2t) + B.e^t

y' = -0,2.A.e^(-0,2t) + B.e^t

0,4x = y' - 0,2y
0,4x = -0,2.A.e^(-0,2t) + B.e^t - 0,2A.e^(-0,2t) - 0,2B.e^t
0,4x = -0,4.A.e^(-0,2t) + 0,8.B.e^t
x = -A.e^(-0,2t) + 2.B.e^t

y(0) = A+B = 0
x(0) = -A+2B = 1

--> B = 1/3 et A=-1/3

x(t) = (1/3).e^(-0,2t) + (2/3).e^t
y(t) = -(1/3).e^(-0,2t) + (1/3).e^t
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Sauf distraction.

merci beaucoup !!

par contre je ne comprend pas pourquoi on fait p² - 0.8p - 0.2 = 0

Les solutions de cette équation correspondent a quoi au juste ? Au a des solutions de la forme y = Ke^(ax) ?

p² - 0.8p - 0.2 = 0

Pour calculer les solution de l'équation caractéristique.

Mais je ne sais pas si tu as appris cela ou non.

Jamais vu !!

En cours, on devait montrer qu'une fonction était solution, en l'occurence y = A.e^(-0,2t) + B.e^t

On n'a jamais vu comment trouver cette fonction solution...

Je vais essayer de me débrouiller avec ça !!

Merci