Inscription / Connexion Nouveau Sujet
groupe des isométries du cube
salut
j'ai quelque questions sur cet exercice surtout pour être sur de ce que j'ai fait :
On pose un cube dans 
3 dont les sommets sont numérotés de 1 à 8 où [1,2,3,4] détermine la face supérieure et [5,6,7,8] la face inférieure, ces deux faces étant reliées par les arêtes [1,5],[2,6],[3,7],[4,8].
On note G le groupe des isométries directes du cube. Donc G agit sur l'ensemble des sommets, ainsi tout élément r de G induit une permutation 
r de l'ensemble des sommets, donc un élément de S8. On décrit ainsi tout élément de G avec sa permutation correspondante dans S8.
Dans la première question j'ai montré que 
=(2 3 4 1 6 7 8 5) et
=(2 6 7 3 1 5 8 4) appartiennent à G.
Dans la deuxième on nous dit H=<,> le sous groupe de G engendré par et .On nous demande de déterminer l'orbite de 1 sous l'action de H. Or
1={h.1, h
H}, est ce que l'orbite de 1 est bien égale à H??
Salut,
G agit sur l'ensemble des sommets, l'orbite d'un élément sous l'action d'un groupe c'est l'ensemble des états que tu peux atteindre partant de cet élément en faisant agir G.
Dans nôtre situation, c'est partant de 1 en faisant agir des éléments de H qu'est ce que je peux atteindre comme sommets(l'orbite est constitué d'éléments de l'ensemble sur lequel on agit et pas du groupe qu'on fait agir).
Si on note et
les deux éléments de
agissant sur les sommets du cube respectivement comme les deux permutations
et
,
il est facile de voir que l'orbite de sous l'action de :
est
.
est
.
est
.
est
.
on voit ainsi que tous sommet du cube est dans une certaine orbite de sous l'action d'un certain élément de
(sauf erreur bien entendu)
Oui Cauchy 
et moi même je ne sais pas d'où me vient cette ténacité a vouloir (à tout prix) donner à mes messages une grandeur esthétiquo-mathématique 
Bonjour, j'ai du mal à saisir la différence entre une "isométrie directe du cube" et une "isométrie du cube" 
Bonjour romu ;
La partie linéaire d'une isométrie affine (application d'un espace affine euclidien
dans lui même qui conserve la distance)
est une isométrie vectorielle (endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien
qui conserve la norme).
et
sont constamment liées par la relation
.
L'isométrie vectorielle (dite aussi automorphisme orthogonal) transforme une base orthonormée
de
en une base orthonormée
de
,
la matrice de passage entre
et
étant orhogonale (
) on a
,
est dite directe si
(le test est fait sur une base orthonormée et c'est le même résultat pour toutes les autres , heureusement !)
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac