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Produit scalaire

Bonjour j'aurai besoin daide pour cet exercice. Merci beaucoup d'avance de votre aide.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (0,i,j,k).
Les points A, B et C ont pour coordonées A(3,-2,2) B(6,1,5) et C(6,-2,-1).

Partie A :
1/ Montrer que le trinagle ABC est rectangle
2/ Soit (P)le plan d'équation cartésienne x+y+z-3=0 . Montrer que (P) est orthogonal à la droite (AB) et passe par A.
3/ Soit (Q) le plan orthogonal à la droite (AC) qui passe par A. Déterminer une équation cartésienne de (Q).
4/ Justifier que (P) et (Q) sont sécants et définir par deux points leur intersection.

Partie B:
1/ Soit D le point de coordonées (0,4,-1). Monter que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
2/ Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
3/ Monter que l'angle BDC a pour mesure /4 radians
4/ a) Calculer l'aire du triangle BDC.
4/ b) En déduire la distance du point A au plan (BCD).

salut

qu'est-ce que tu fais pour la partie A ?

alors pour la partie
1/ j'ai démontré que vecteur AB et Ac=0 dc ABC rectangle en A
Après la question 2 je bloke
La question 3 pour l'équation de plan j'ai trouvé 3x-3z+3=0

Soit (P)le plan d'équation cartésienne x+y+z-3=0

donc N(1,1,1) est un vecteur normal à P

or AB = (3,3,3)= 3N =>  AB est colinéaire à N => AB est orthogonal à (P)

les coordonnées de A vérifient l'équation x+y+z-3=0

AC=(3,0,-3)

pour Q je trouve  3x-3z-3=0

C'est pour la question 2 ou 3?

la 2

Mais pour la 2 faut pas l'équation de Q ?

svp de l'aide pour la question 3

équation de Q est déterminer par

avec M(x,y,z) un point de Q

et on trouve 3x-3z+3=0

tu es sure ?

peux-tu détaller tes calculs !

On cherne n(x,y,z) tel que n.Ac=0 c'est à dire qu'on cherche x,y,z tels que 3x-3z=0
n.AC=3x-3z+d=0
Avec les coordonnées du point A : 3*3-3*2+d=0
d=-3
donc 3x-3z+3=0

Les points A, B et C ont pour coordonées A(3,-2,2) B(6,1,5) et C(6,-2,-1).

AC=(3,0,-3)

AM=(x-3;y+2;z-2)

AM.AC = 3(x-3) -3(z-2) = 3x-3z +3 =0 OK

d'accord merci
pour la 4 j'ai fait
(P) x+y+z-3=0   n(1,1,1)
(Q) 3x-3z+3=0   n'(3,0,-3)
non colinéaires
(P) et (Q) sont sécants

OK les 2 vecteurs normaux ne sont pas colinéaires donc les plans sont sécants exact !!

mais pour l'intersection on fait comment?

tu connais les droites paramétrées ?

non on l'a pas encore fait ce chapitre

comment tu fais pour décrire une droite dans l'espace ?

parce que c'est bien une droite l'intersection entre P et Q on est bien d'accord ??

4/ Justifier que (P) et (Q) sont sécants et définir par deux points leur intersection.

OK je comprends, il suffit que tu trouves 2 points qui sont à la fois à P et à Q.

tu sais le faire ?

il y a le point A déja

OK pour A
avec A(3,-2,2) B(6,1,5) et C(6,-2,-1).

(P) x+y+z-3=0   n(1,1,1)
(Q) 3x-3z+3=0   n'(3,0,-3)

pour trouver un autre point
on peut fixer z=0

x+y=3
3x=-3

=> déduit x,y  et tu auras un autre point..

(-1,4,0)

C'est sa?
Pour la partie B question 1 j'ai fait Ad.n=0 donc (AD) perpandiculaire au plan (ABC)

oui pour le point !

n c'est quoi ?  un vecteur normal de (ABC) ?

si c'est le cas il faudrait n et AD colinéaires

oui n le vecteur normal de (P)

mais (ABC) n'est pas (P) ..

ah d'accord désolé alors il faut que je calcule n.AB et n.AC ? et après il faut que dans l'équation je remplace x, y, z avec les coordonnées des ponts A,B,C ?

oui !

AD.AC=0  et AD.AB=0

il faut vérifier ces égalités

d'accord merci et pour la question 2 stp?

V=hS/3

h=AD

Surface du triangle ABC..

(à réfléchir ..)

d'accord je terminerai demain matin là je vais me couché tu seras connecté demain matin ?

le matin peut être pas ..

bonne nuit

bonne nuit à demain

j'ai trouvé 27 cm^3

ABC est un triangle rectangle

sa surface = ||AB||||AC||/2

le volume = ||AD||||AB||||AC||/6

est-ce que tu as fait comme cela ?

oui

A(3,-2,2) B(6,1,5) et C(6,-2,-1), Soit D le point de coordonnées (0,4,-1).

3/ Montrer que l'angle BDC a pour mesure pi/4 radians

tu as une idée ?

on calcule BD.BC

oui et tu trouves ..

275

en fait c'est  DB.DC = ||DB|| ||DC|| cos( BDC)

=> tu déduis le cosinus

sa fait 27V5=9*3V5*cos(BDC)
cos (BDC)=1?

B(6,1,5) et C(6,-2,-1), Soit D le point de coordonnées (0,4,-1).

DB(6,-3,6)   DC(6,-6,0)

DB.DC = 36+18 = 54

DB² = 72 +9=81 => DB=9

DC²= 72=> DC = 6V(2)

DB.DC = ||DB|| ||DC|| cos( BDC)

54  = 54 V(2) cos( BDC)

..

sa fait V2

plutôt 1/V(2)

ouai donc après sa fait V2/2

oui et quels sont les angles dont le cosinus vaut V(2)/2 ?

pi/4