Calcul de trajectoire sur une sphère (la terre)

Posté par Louprouge Louprouge

Hello,

Pour la petite histoire, je me suis mis en tête de faire voler virtuellement des avoins d'un aéroport à un autre et de détecter les aéroports "visibles" situés sur ma trajectoire.

Comme je suis nul en mathématique, j'ai glané des renseignements à gauche et à droite, mais il semblerait que j'ai raté quelque chose.

Pour être concret, je fais un vol depuis Anchorage (Alaska) vers Masvingo (Zimbabwe) et le problème, c'est que je passe à 44 kms d'Antalaya en Turquie, ce qui me semble impossible.

J'ai procédé comme suit :
conversion des latitudes et longitudes en radian, soit :
Anchorage :61°10'27"N 149°59'46"W = 1.06769061 par -2.61792588
Masvingo : 20°3'19"S 30°51'32"E = -0.35003066 par 0.53858924
Antalaya :36°54'5"N 30°47'30"E = 0.64405078 par 0.53741598


Je me suis ensuite servi de la formule suivante pour calculer les distances entre chaque point :
$e= latitude d'origine
$f= longitude d'origine
$g= latitude de destination
$h= longitude de destination
avec un rayon terrestre égal à 6371 kms

$i=(cos($e)*cos($g)*cos($f)*cos($h)+cos($e)*sin($f)*cos($g)*sin($h)+sin($e)*sin($g))
$j=(acos($i))
$k=6371*$j

ce qui me donne les résultats suivants :
Anchorage-Masvingo=15442.3867502 kms
Anchorage-Antalaya= 9109.34789801 kms
Masvingo-Antalaya= 6333.29678369 kms

Ces trois distances forment un triangle dont je peux calculer l'aire en me servant de la formule d'Héron d'alexandrie, (http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron) en triant mes valeurs de la plus petite à la plus grande :

soit :
$q = ($a+($b+$c))*($c-($a-$b))*($c+($a-$b))*($a+($b-$c));
$q = abs($q);
$aire = 0.25*sqrt($q);

Dans ce cas concret, j'obtient une aire de 338959.069904 km².

Pour déterminer la distance la plus courte entre Antalaya et ma trajectoire, je me suis dit que ma trajectoire serait la base d'un triangle et qu'Antalaya serait située sur le sommet opposé.

partant de la, j'ai utilisé la formule aire = base x hauteur / 2 convertie en :
hauteur = 2 x aire / base
soit : 2 x 338959.069904 / 15442.3867502 = 43,899932759 kms.

Quelles sont mes erreurs ?

Posté par yoyodada yoyodada

tu as regardé la formule de Heron, bien, mais la formule de Heron ne marche que pour les espaces euclidiens (les plans par exemple). As tu regardé le lien , dans l'article que tu donnes en lien, sur la géométrie sphérique (non euclidienne) ? Normalement, en appliquant tes données, tu trouves ta valeur sauf erreur. Logiquement, avec les données de latitudes et de longitudes de tes différents points, cela te permet de trouver.

Posté par enzo enzo

Juste une question bête : c'est une géodésique que Louprouge essaie de calculer ?

Posté par yoyodada yoyodada

en fait c'est plus compliqué que ca, j'ai du me tromper.
Mais les calculs sont assez complexes.

Louprouge ne calcule pas une géodésique à ma connaissance, il essaie de déterminer la distance séparant 3 points repérés par leurs latitudes et longitudes, pour savoir si le trajet Anchorage/Masvingo passe à moins de 44kms d'une autre ville en turquie.

A mon avis, il faut utiliser une des formules de Huillier, en repérant d'abord les 3 points en coordonnées cartésiennes, puis en calculant les différents angles entre le centre de la terre et les 3 points.
Qu'en penses tu ?

Posté par Louprouge Louprouge

Je viens de lire l'article sur le triangle sphérique,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27Huilier

mais je n'y ai rien compris... J'ai toujours été nul en math et mon dernier cours remonte à +/- 25 ans.

Serait-ce abuser que de demander une correction de mon "devoir" ?

en admettant que les accolades dans la formule aient la meme fonction que des parenthèses, je devrais arriver à calculer l'aire d'un triangle sphérique... pour autant que je saches comment déterminer les angles du sommet (et la... c'est une autre histoire).

En admettant que j'obtienne l'aire, la formule de ma hauteur serait elle toujours bonne ? (base x hauteur) / 2

D'avance, merci

Posté par yoyodada yoyodada

j'avoue que je ne suis pas très calé en ce genre de géométrie (je ne suis qu'en terminale); mais il est vrai que déterminer les distances entre tes 3 villes ne te donnera pas forcément la distance la plus courte entre ton trajet et ta ville en turquie (c'est bien ca que tu veux calculer non ?)

j'avoue être pour l'instant assez incapable de te répondre, mais je vais me renseigner, et j'essaierai de te répondre le plus vite possible.

Posté par Louprouge Louprouge

Merci yoyodada

Mon problème peut se résumer à ce qui suit :

"En volant d'un point à un autre en suivant le trajet le plus court, listez les aéroports que vous pouvez apercevoir pendant votre trajet et qui se situent à maximum X kms de votre point d'observation (sachant que le point d'observation se déplace)".

Les données que je possèdes sont les coordonnées de tous les aéroports du monde, incluant mon point de départ et mon point d'arrivée.

les formules de calcul de distance d'un point à un autre sont supposées correctes, je les ai trouvées a plusieurs endroits différents sur le net. Les coordonées que j'ai indiqué sont exactes (a moins d'une minute près).

Posté par yoyodada yoyodada

à mon avis, il suffit d'appliquer une formule (que je vais chercher) qui te donne la distance d'un point (en l'occurence antalaya) à une géodésique (une droite sur une sphère, ici ton trajet).
Je n'ai pas vérifié les formules que tu as utilisées pour calculer la distance de deux points du globe connaissant leur latitude et leur longitude, mais elle doit être correcte, donc les distances de ton "triangle" sphérique doivent être exactes.

autre chose: selon moi, c'est possible que ton trajet passe à moins de 50 km d'antalaya.

Posté par Louprouge Louprouge

Si mes formules sont correctes, c'est plutôt une bonne nouvelle. Mais quand je regarde un planisphère, la droite anchorage - Masvingo passe à l'ouest de l'afrique, côté Mauritanie...

Posté par yoyodada yoyodada

oui mais n'oublie pas que la terre est sphérique et que les représentations  des planisphères sont des projections planes (qui sont fausses du point de vue des trajets). j'ai sous les yeux un planisphère "sphérique", avec l'alaska situé en haut à droite, et le trajet anchorage masvingo (le plus court) survole le pole nord, la russie au niveau de moscou, la turquie en partie, puis la mer rouge. C'est donc tout à fait plausible qu'il passe à 44 km d'antalaya.

Posté par Louprouge Louprouge

Ah... dans ce cas, la formule serait bonne et le passage en turquie moins surprenant

L'étape suivante, ce serait de dessiner ce trajet sur une carte (pour un jeu en ligne en php).Existe-t-il des formules "toutes faites" qui me permette de réaliser ce projet ? Si possible pas trop gourmandes en opérations à réaliser

Posté par yoyodada yoyodada

alors là, je suis navré, mais je n'ai pas les compétences requises (ca s'apprend plus tard je pense), mais je peux peut etre chercher sur le net.

L'idée mathématique pour le trajet serait de calculer l'équation de ta "géodésique" (ton arc de sphére en gros) mais je ne sais pas comment on fait. Je vais essayer de trouver quand même.

Posté par Louprouge Louprouge

Merci beaucoups, ça m'aiderait énormément.

Posté par Louprouge Louprouge

Hello
Comme je ne sais pas si le poste est détruit automatiquement quand il se retrouve trop loin dans les pages, je le fais remonter, à tout hasard.

Posté par Louprouge Louprouge

un petit up pour éviter l'oubli... merci