Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonctions à deux variables - Continuité et dérivabilité
Salut ! 
Bon, je veux m'entraîner sur ces trucs là de continuité, je présenterai plusieurs fonction qu'on traitera ensemble
Il faut étudier la continuité en (0,0) :
Bon, donc f est continue en (0,0) et f(0,0)=0
simplement
bof je ne trouve rien à signaler là
Merci pour votre aide !
une idée: factorise par x (par exemple) alors :
si x et y ont même signe alors ton dénominateur est > 1 donc f(x,y)<y et f tend vers 0
mais si x et y n'ont pas même sgn alors pas d'idée
D'après le corrigé, la fonction n'est pas continue en 0
et puis, pourquoi si x et y sont positifs on aura x+y>1?
j'ai essayé de voir de la part des convergences rectilignes mais toutes me donnent 0 donc ça ne sert à rien !
Monrow >> pose y=x
Alors
Donc
De même, en posant y=-x on trouve
Donc en approchant l'origine par la droite y=x puis par la droite y=-x, on trouve deux limites différentes en 0
D'où la contradiction avec l'unicité de la limite
bdo>> non, la fonction n'est pas continue, y a quelque chose qui cloche
FF>> non, f(x,x)=x/2 qui tend vers 0 de même f(x,-x) tend vers 0 aussi
f(x,-x) =x²/0 donc f n'est pas définie sur cette droite
f(x,y)=y/(1+y/x)
si x et y ont même sgn alors 1+y/x>1 donc f(x,y)<y et f tend vers 0
En trichant, comme tu sais qu'elle n'est pas continue en 0, tu peux essayer de trouver deux suites x_n et y_n tendant vers 0 et telles que f(x_n,y_n) ne tend pas vers 0
J'essaie de trouver...
Salut rogerd !
Oui, et j'ai même la démo, mais je ne veux pas la voir ... je veux voir comment on peut raisonner ... :s
Cela dépend bien sûr de la valeur que l'on attribue dans l'énoncé à f(0,0). Mais si l'on pose f(0,0)=0, il me semble bien que f est continue en (0,0).
De même, il me semble que tu a expédié un peu vite le deuxième exemple.
pour le deuxième exemple : 1+x²+y² tend vers 1 et de même pour sin(y)/y donc le tout tend vers 1
Je pose le raisonnement qu'ils ont fait :
on a f(x,0)=0 donc si f admet une limite celle ci sera égale à 0
On note et
on considère aussi l'application
si f est continue en (0,0) alors comme g est continue en (0,0) et h continue en à leur composition goh sera continue en 0.
Or: donc goh n'est pas continue en 0.
Ceci montre que g n'est pas continue en (0,0), et de même f n'a pas de limite en (0,0).
Mais peut-on avoir tant d'intuition?
Elle n'est pas continue en effet. si l'on tend vers (0,0) en restant sur la courbe y=-x+x^2, la fonction tend -1.
Bonsoir,
ce qu'a dit bdoest parfaitement correct,à condition toutefois de remarquer que la transformation proposée ne vaut que si x et y sont non nuls.
Si l'une des coordonnées est nulle mais pas l'autre on a f(x,y)=0.
Enfin comme (x,y) tend vers (0;0) on peut supposer que les deux coordonnées ne sont pas nulles en même temps.
Cela dit il est sans doute un peu plus simple de passer en coordonnées polaires en remarquant que (x,y) tend vers (0;0) ssi tend vers 0.
Salut Tigre !
je veux bien essayer aussi avec les coordonnées polaires:
on aura euh qu'est ce qu'on fera après?
Aussi près que l'on soit de l'origine, donc aussi petit que soit rho, il y a des points tels que cost+sint soit nul.
Monrow: si je comprends bien, ton corrigé de la deuxième question contredit la réponse que tu avais en tête?
C'est une forme de raisonnement qui vient avec un peu d'entraînement et qui est ajusté à ce type d'exercice: trouver la courbe un peu tordue qu'il faut emprunter pour tendre vers l'origine.
A partir de là, ton corrigé, à force de vouloir être rigoureux, cache un peu la réalité.
Salut,
pour la 3ème elle est pas continue en (0,0).
Les suites (1/n,-1/(n+1)) tendent vers (0,0) et on a f(1/n,-1/(n+1))=-1/(n(n+1)/(1/n-(1/n+1))=-1.
Et f(1/n,1/n)=1/n²/2/n-->0 quand n tend vers l'infini.
salut à tous
y en a qui cogite dur à ce que je vois
f tend vers 0 sur les 2 quarts de plan tel que xy>0 comme je l'ai démontré
et pour tout chemin menant à 0 ssans couper la 2° bissectrice sur laquelle f n'est pas définie alors on a un infiniment petit d'ordre 2 divisé par la somme de 2 infiniments petits d'ordre 1 ce qui donne un infiniment petit d'ordre 1 qui tend donc vers 0
on peut donc toujours poser f continue en 0 en posant f(0,0)=0 du moment qu'on travaille sur son ensemble de def: R² -{y=-x}
et je retire ce que j'ai dit: prenez y =x²-x et calculer f(x,x²-x) et alors la limite est -1 !!!!
donc -1=0 !!! et f n'est pas continue en 0
je laissé mon raisonnement faux car c'est lui qui me permet de faire un raisonnement exact par la suite !
et pour continuer sur les chemins menant à 0 prenez y =x^3-x et regardez donc gardez-vous de vos a-priori
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac