Forum : divers :
Probleme de probabilité

Le probleme:

a) De cobien de facon differentes peut-on
1) choisir trois personnes parmi un groupe de cinq?
2) Attibuer trois prix differents à trois oersinnes parmi un groupe de cinq?

b) Y'a-t-il une difference entre ta reponse à la question 1 et cette à la question 2? Si oui, Explique la.

Bonjour



1) Première méthode
Soient a b c d e les personnes

abc    abd    abe    acd    ace   ade

bcd    bce    bde

cde

il y a donc 10 groupes possibles





Pourquoi s'embêter avec d'autres méthodes ?
On voit bien que s'il fallait choisir 10 personnes parmi 20 ... la méthode 1 va devenir très longue !




Deuxième méthode
Plaçons trois chaises numérotées 1, 2, 3
Pour choisir une personne à assoir sur la chaise n°1:   5 possibilités
Pour choisir une personne à assoir sur la chaise n°2:   4 possibilités
Pour choisir une personne à assoir sur la chaise n°3:   3 possibilités

En tout 5 * 4 * 3 possibilités pour assoir 3 personnes sur les chaises numérotées en tenant compte de l'ordre.

Mais en procédant ainsi,    "x sur 1, y sur 2, z sur 3"
est différent de            "x sur 1, z sur 2, y sur 3"
Dans les groupes de 3 personnes, l'ordre n'intervient pas ! Le groupe xyz est le même que le groupe xzy.

Nous avons donc compté plusieurs fois le même groupe ...

Trois personnes x, y, z étant choisies:
x peut s'assoir sur la chaise 1, 2 ou 3  => 3 possiblités
y n'a plus que deux possibilités puisque x occupe déjà une place
z n'a pas le choix puisqu'il ne reste qu'une chaise (x et y étant déjà assis)

Trois personnes x, y, z étant choisies, il y a donc 3*2*1 possibilités de les numéroter (de les ordonner). Ainsi dans le calcul 5*4*3, chaque groupe a été compté 3*2*1 fois.

Le nombre de groupe de trois personnes choisies parmi 5 est donc de:



Troisième point de vue
Pour faire un groupe de 1 personne:   5 possibilités

Pour faire un groupe de 2 personnes,
- on choisit un groupe précédent (5 possibilités)
- on choisit une personnes parmi celles qui restent (4 possibilités)
- un même groupe est compté 2 fois ("au groupe formé par x seul on ajoute y" ou "au groupe formé par y seul on ajoute x"
donc possibilités


Pour faire un groupe de 3 personnes,
- on choisit un groupe précédent (10 possibilités)
- on choisit une personnes parmi celles qui restent (3 possibilités)
- un même groupe est compté 3 fois (3 possibilités pour choisir celui des trois qui est ajouté aux deux autres)
donc possibilités




Bonne lecture ...

Reste la question 2 ...