Bonjour,
pourriez vous m'aider, svp, pour cet exo ?

On part avec z0 = x0, décrivons l'itération n :
i) on calcule zn^(1) = g(zn)
ii) puis zn^(2) = g(zn^(1))
iii) on définit alors zn+1 par la formule d'Aitken :
zn+1 = ((zn^(1))² - znzn^(2)) / -zn^(2) + 2 zn^(1) - zn

(Ce que je met en puissance(^(1), ^(2)...), ce sont des indices pour "différencier" les zn...)

1) Montrer que l'on a obtenu une nouvelle méthode itérative zn+1 = G(zn) avec :

G(x) = ((g(x))² - x(g°g)(x)) / -(g°g)(x) + 2g(x) - x
= x - [(g(x) - x)²) / (g°g)(x) - 2g(x) + x]

On travaillera par la suite avec la deuxième expression.

2) On suppose que :

g(l+h) = l + c1h + O(h²)
avec c1=g'(l)  0 et |c1| < 1 ce qui implique que la méthode xn+1 = g(xn) converge géométriquement (ou encore est d'ordre 1).

a) On suppose aussi que c1  1. Montrer alors que l est racine simple de l'équation g(x) - x = 0, c'est à dire que f(x) = C(x-l) + O((x-l)²) avec C  0.

b) La suite a pour but de montrer que G(l+h) = l + O(h²), c'est à dire que la méthode de Steffensen appliquée à g est (sous nos hypothèses) au moins d'ordre 2. Il faut donc développer :

G(l+h) = l+h - [(g(l+h) - (l+h))² / (g°g)(l+h) - 2g(l+h) + l + h]

ce qui est un peu long ! On s'y prend donc en plusieurs étapes...

i) Montrer que (g(l+h) - (l+h))² = (c1 - 1)²h² + O(h²)
ii) Montrer que g°g(l+h) = l + c1²h + O(h²)
Aide : poser h' = c1h + O(h²) pour réappliquer le développement sur g(l+h')
iii) En déduire que :
g°g(l+h) - 2g(l+h) + l + h = (c1 - 1)²h + O(h²)
et conclure.

Voilà,
merci d'avance
A+