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Integrales


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#msg1832204 Posté le 26-04-08 à 17:31
Posté par Profilterreur21 terreur21

Bonjour !

J'ai un problème dans un exercice où il faut etablir la relation : 2In+nI(n-1)=e^2
avec I0= integrale de 1 à e de xdx et In= integrale de 1 à e de x(ln(x))^n
voilà, je vous serais tres reconnaissant si vous pouviez m'aider un peu !
merci...
re : Integrales#msg1832275 Posté le 26-04-08 à 17:48
Posté par ProfilMarcel Marcel

Bonjour,

2In = ∫ (1 à e) 2x.lnn(x) dx

On intègre par parties :

2In = [x².lnn(x)] (1 à e) - ∫ (1 à e) x².(n/x).lnn-1(x) dx = e² - n.∫ (1 à e) x.lnn-1(x) dx = e² - n.In-1
re : Integrales#msg1832284 Posté le 26-04-08 à 17:51
Posté par Profilterreur21 terreur21

Wouah ! Trop bien : j'avais pas du tout pensé qu'on pouvais faire comme ça !
Vraiment, merci beaucoup !
encadrement d'une suite d'integrales#msg1837592 Posté le 28-04-08 à 21:14
Posté par Profilterreur21 terreur21

Bonsoir !

Dans un exercice, on a (de 1 à e) x(lnx)^n dx, on a aussi 2In+nIn-1=e^2

Mais on nous demande de démontrer que la suite In est décroissante, et d'en déduire que:
(e^2)/(n+3)In(e^2)/(n+2)

Mais enfaite, mon problème c'est que je ne sais pas trop comment on montre qu'une integrale est croissante, et l'encadrement, je ne vois pas trop non plus comment on fait

Voila, merci ...

*** message déplacé ***
re : Integrales#msg1837605 Posté le 28-04-08 à 21:17
Posté par ProfilColl Coll Moderateur

Bonsoir,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

re : Integrales#msg1837643 Posté le 28-04-08 à 21:26
Posté par Profilterreur21 terreur21

D'accord, je suis vraiment désolé pour le multi post, mais pour moi, meme si ma question fait parti du meme problème, comme c'est une autre question, je croyais qu'il fallait refaire un topic!
voila, encore désolé
re : Integrales#msg1837648 Posté le 28-04-08 à 21:26
Posté par ProfilMarcel Marcel

Bonsoir,

In+1 = ∫ (1 à e) x.lnn+1(x) dx
In = ∫ (1 à e) x.lnn(x) dx

In+1-In = ∫ (1 à e) [x.lnn+1(x)-x.lnn(x)] dx = ∫ (1 à e) x.lnn(x).[ln(x)-1](x) dx 0
(car l'intérieur de l'intégrale est 0 pour x compris entre 1 et e)

Donc la suite I est décroissante


(2+n)In-1 = 2In-1+nIn-1 2In+nIn-1 = e²
Donc In-1 e²/(2+n)
Donc In e²/(3+n)

Même raisonnement pour la deuxième inégalité ...
re : Integrales#msg1837680 Posté le 28-04-08 à 21:34
Posté par Profilterreur21 terreur21

Euh, je comprends pas bien la troisieme ligne que vous avez ecris. Comment vous faites pour passer de xln^(n+1)-xln^n à xln^n (ln-1) ? enfaite c'est la puissance de ln, je ne vois pas trop

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