Forum : équations différentielles :
Equations différentielles

Bonjour à tous,
J'ai quelques soucis avec les équations différentielles et j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant:

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur ]π/2;π/2[

(E) : y'+(1+tan(x))y=cosx
(E₀ ) : y'+y=1

1° Donner l'ensemble des solutions de (E₀ )
       les solutions sont les fonction de la forme cexp(-x)+1

2° Soient f et g deux fonctions dérivables sur ]π/2;π/2[ et telles que f(x)=g(x)cosx
     Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E₀
    Je comprend pas ce genre d'exercice dont la fonction solution dépend d'une autre fonction, je ne vois pas ce que je dois montrer

Merci d'avance pour vos réponses.

personne pour un coup de main sur la méthode à adopter pour la question 2.

Bonjour,
il suffit de faire ce qui est demandé
si f est solution montre que g est aussi solution.
si g est solution montre que f est aussi solution.

Bonjour.

2°) Soient f et g telles que f(x) = g(x).cos(x).

f solution de (E)

<=> f '(x) + [1+tan(x)]y = cos(x) (I)

Or, f(x) = g(x).cos(x) => f '(x) = g '(x).cos(x) - g(x).sin(x).

On remplace dans (I) :

g '(x).cos(x) - g(x).sin(x) + [1+tan(x)]g(x).cos(x) = cos(x).

En réduisant, tu arrives à :
g '(x) + g(x) = 1 car cos(x) est non nul sur l'intervalle d'étude.

salut

f est solution de (E)

donc

f'+(1+tan(x))f=cosx

f(x)=g(x)cosx

f'(x)= g'(x)cos(x) - g(x)sin(x)

g'(x)cos(x) - g(x)sin(x)  + (1+tan(x))g(x)cosx=cosx

on divise par cos(x)

g'(x) - g(x)tan(x) + (1+tan(x))g(x)=1

g'(x) + g(x)=1

donc g est solution de (E₀ )

réciproquement si
g est solution de (E₀ )

alors

on remonte les équations et on trouve que f est solution de (E)

salut à tous !

merci à tous pour vos réponses.

pour ma part de rien

Bonjour tout le monde.
Si je peux me permettre je rajouterai bien une petite question. je suis sur le même exo. ^^
  3. Determiner la solution f de (E) telle que f(0)=0.

Merci

salut,

qu'est-ce tu trouves pour f dans les questions précédentes ?

Bonjour disdrometre
Pour f ? On a juste f(x)=g(x)*cos(x)

et g ?  tu as trouvé ?

Les solutions étaient de la fomre Ce^-x+1

donc

f(x) = (Cexp(-x) +1) cos(x)

alors f(0) =C +1 = 0  donc ...

Ah ok donc d'aprés les conditions initiales : Une solution particuliére est (-e^-x+1)cos(x)   ???

oui !

Ok merci.   Bonne soirée.

de rien @ +