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Adhérence & Boules
Salut tout le monde
Un petit problème de topo. Je veux montrer que l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée du même rayon.
Soit B la boule de centre a et de rayon r.
L'implication directe:
Pour cela, j'ai pris un élément y de Adh(B(a,r))
il faut alors montrer que
On a: et là je ne sais plus comment arriver à r seul
Merci d'avance 
Salut monrow,
Je veux montrer que l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée du même rayon.
Il faut préciser que tu travailles dans un espace vectoriel normé car ce n'est pas toujours vrai.
Il suffit que tu dises que
Salut monrow!
C'est vrai pour tout epsilon, avec un symbole < et pas inférieur ou égal.
Donc si on passe à la limite lorsque epsilon tend vers 0, on obtient bien une inégalité large.
Remarque bien par ailleurs que le résultat de ton exercice ne vaut que dans un espace vectoriel normé, il est faux en général dans un espace métrique.
salut greg
Monrow: Montre que tout point de la sphère est limite d'une suite de points de la boule ouverte.
Avec plaisir en ce qui me concerne!
Dans l'autre sens, il suffit de considérer la suite xn=(1/n)a+z(n-1)/n avec z dans la boule fermée.
xn est dans la boule ouverte et tend vers z, donc...
euh j'ai pas compris pour la sphère 
sinon, pour ta méthode tigweg, pourquoi t'as choisi le a (je pense que tu parles du centre de la boule fermée c'est ça? )
puis, pourquoi a-t-on xn dans la boule fermée alors qu'il y a le z?
Oui désolé,a c'est le centre!
xn est dans la boule OUVERTE, il suffit de vérifier que ||xn - a|| < r.
la sphère de centre et de rayon
est
.
Il est clair alors que la boule ouverte et la sphère
forment une partition de la boule fermée
.
est dans son adhérence, il reste à voir que
est dans
pour conclure que la boule fermée
soit dans
.
Pour la suite tu peux regarder ce que ça donne pour la cas où le cas où et
et retomber sur la suite de greg à l'aide des dilatatons.
Je ne comprends tout simplement pas l'implication, du moins ce qu'elle représente géométriquement
C'est le plus petit fermé contenant cet ensemble, mais je n'arrive pas à faire le lien avec l'implication
Salut. L'adhérence d'une partie, c'est aussi l'ensemble des points dont tout voisinage rencontre cette partie...
Bonjour,
Je ne vois toujours pas le lien.
Une partie d'un ev normé E est un voisinage de
ssi
tel que
où
Désolé, erreur d'aperçu.
Donc j'ai ici la définition de voisinage, qui ne me permet toujours pas d'établir un lien l'inégalité
@ Nox1
Il n'est pas toujours vrai que dans un espace métrique (E , d) " l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée de même centre et de même rayon " .
Exemple : Si E = {0} 
[1 , 2] , et d = [.| la boule ouverte BO(0 , 1) est aussi fermée et la boule fermée BF(0 , 1) = {0 , 1}
Mais c'est vrai au moins si E est un 
-ev normé par N et d la distance (x,y) 
N(x - y) . .
Pourtant le lien est clair...
Prenons quelconque. On veut établir
.
Fixons , comme
est adhérent à
, tout voisinage de
rencontre la boule
.
En particulier pour la boule on en tire que
.
Du coup, il existe au moins un dans cette intersection, d'où
et
.
TigwegTigweg
Avec plaisir en ce qui me concerne!
Dans l'autre sens, il suffit de considérer la suite xn=(1/n)a+z(n-1)/n avec z dans la boule fermée.
xn est dans la boule ouverte et tend vers z, donc...
Bonjour Tigweg, je comprends ton raisonnement avec la suite que tu as posé, mais je n'arrive pas à comprendre comment tu as eu l'idée de poser cette suite en particulier.
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