Forum : équations différentielles :
équation différentielle

Partie A :
Dans cette partie on se propose de résoudre le problème suivant :
trouver une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0,+oo[ , s'annulant
pour x = 1 et vérifiant la propriété :
pour tout x > 0 :
xf'(x) - 3f(x) = 3ln(x) (E)
où ln désigne le logarithme népérien.
1 ) Trouver toutes les fonctions polynômes P du troisième degré telles
que, pour tout x réel :
xP'(x) - 3P(x) = 0
2 ) Soit une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0,+oo[ telle que
f(1) = 0, soit h la fonction définie sur ]0,+oo[ par la relation f(x) = x³h(x)
a ) Calculer h(1)
b ) Calculer f'(x) en fonction de h'(x) et de h(x).
c ) Montrer que f vérifie la propriété (E) si et seuleument si pour
tout x > 0 : h'(x)=(3lnx)/x⁴

d ) On suppose que f vérifie la propriété (E). Montrer que h est
définie sur ]0,+oo[ par : h(x)= intégrale x->1 lnt dt
déterminer h(x) à l'aide d'une intégration par parties.
3 ) Montrer qu'il existe une fonction f et une seule solution du problème
posé et en donner l'expression.

est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la question 3..le reste je pense avoir réussi, merci