Forum : similitudes :
barycentre et similitude

Bonjour je suis bloquer dans mon dm pouvez vous m'aidez svp?

ABC est équilatéral tel que (AB;AC)=pi/3 + 2kpi
Soit t un nombre réel fixe et soit M N et P, deux à deux distincts tel que : AM=tAB ; BN=tBC ; CP=tCA (ce st des vecteurs).
Le but de l´ex est de démontrer l´existence d´une unique similitude directe s qui transforme A, B et C en M, N et P.
On munit le plan d´un repère orthonormal (O;u;v) direct.
On note a, b , m n et p les affixes des points C M N et P.

1) on rappelle que toute similitude conserve le barycentre.
a) exprimer m n et p en fonction de a b c et t.
b) en déduire que les triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. G est ce gravité.
c) On suppose que s existe. Déterminer l´image de G par s.

2) on considère la rotation r de centre G et d'angle 2pi/3.
a) Vérifier que M est le barycentre du système de pts (A; 1-t) (B;t), en déduire que r(M)=N. On admet de même que r(N)=P et r(P)=M.
b) Soit s1 la similitude directe de centre G, de rapport GM/GA et d'angle (GA;GM). Montrer qu'elle transforme les pts A B et C en M N et P.
c) conclure sur l'existence et l'unicité de S.

Voici mes recherches :
1) a) m= tb-(1+t)a  n=tc-(1+t)b   p=ta-(1+t)c
b) a+b+c=3g et m+n+p= a+b+c donc m+n+p=3g donc ABC ET MNP est mm centre de gravité.
c)Les 2 triangle ont mm centre de gravité donc g est un pont invariant, c'est donc le centre de la similitude, dc s(G)=G.

2) a) m= tb-(1+t)a dc m= tb+a(1-t) dc M barycentre de (A; 1-t) (B;t).
Voila je suis bloquer ici.
Merci d'avance

bonjour,

1/a les formules sont inexactes

m = a (1 -t) + bt <=> M bary de (A; 1-t) (B; t)
n = b (1 -t) + ct <=> N bary de (B; 1-t) (C; t)
p = c (1 -t) + at <=> P bary de (C; 1-t) (A; t)

2/b/ rotation r de centre G et d'angle 2pi/3

la rotation r transforme A en B, et B en C
elle transforme donc le bary M de (A; 1-t) (B; t) en le bary de (B; 1-t) (C; t),
or ce bary est N donc r(M) = N.

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merci bcp.
Pour la question b), je comprends pk on l'image de A est M (directement lié au rapport et à l'angle) mais je ne c'est pas comment s1(B)=N et s1(C)=P ????
et je ne comprends pas la différence entre la similitude s et s1 ?
pour la dernière question il suffit de dire que les points d'arriver et que les points images sont distincts donc il existe une unique similitude transformant A B C en  M N P.???
Merci d'avance

2/ b/

la rotation de centre G et d'angle 2pi/3 transforme A en B et M en N.
Cette rotation transforme donc [AM] en [BN] et
transforme le triangle GAM en GBN.

Il s'ensuit que les triangles GAM et GBN sont isométriques,
et donc que GA = GB, GM = GN et que angle(AGM) = angle(BGN)

Il s'ensuit que la similitude s1 de centre G et d'angle (GA; GM)
qui transforme A en M, transforme également B en N.

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