Forum : arithmétique :
spé fermat et congruence

Bonjour à tous

Soit p un nombre premier different de 2

1/ d&monrer qu'il existe un entier n € N* tel que 4^n1 [p] J'ai réussi en apliquant le petit theoreme de Fermat

2/ soit n € N* tel que 4^n1[p] on note b le plus petit entier strictement positif tel que 4^b1 [p] et r le reste de la division euclidienne de n par b

a/ justifier l'existence de b ( facile b>0 )
b/ démontrer que 4^r1 [p] ( j'ai aussi reussi)
c/ en déduire la valeur de r et par contre ici je bloque :/

Voilà merci d'avance de votre aide

ûp plzz

bonjour,

tu as fais "le plus dur"...

tu sais que b est le plus petit élément tel que or tu as trouvé un entier naturel r avec qui vérifiait aussi cette relation donc au final on a nécessairement (car lui il peut etre nul).

donc b|n.

j'ai pas trés bien compris ton raisonement

tu sais que b est le plus petit élément tel que  or tu as trouvé un entier naturel r avec  qui vérifiait aussi cette relation

jusque là je suis daccord

mais delà à affirmer que neccessairement r=0 je vois pas

eh benh puisque b est le plus petit élément strictement positif qui vérifie notre relation et que nous avons trouvé r qui vérifie aussi cette relation or r<b mais comme r peut être nul, nécessairement r=0.

mercciii c'est bon juste une petite question je me suis tromper pour prouver l'existence de b de la question a/

Peut tu me donner une piste stp ?

merci encore

bonjour momo4735 et xunil,
une piste :

6^12 est surement congru à1 modulo 13;
4^22 est surement congru à 1 modulo 23
5^16 est surement congru à 1 modulo 17
quel est ce theoremes de fin de programme de l'arithmetique?

Pour montrer que b existe j'ai montrer que b est superieur ou égale à 1 c'est pas sa ?

je vois pas quel theoreme veut tu me faire dire et puis pourquoi a tu ecris surement ? ce n'est pas sur ?

ton titre c'est fermat ...vas voir ce qu dit le petit theoreme de fermat !!
et reponse : c'est sûr!

pardon je repondais à la 1ere!!

mais dans une partie non vide admet toujours un plus petit element ; prends
elle contient
donc elle n'est pas vide et dans , qui est un ensemble fini il y a un plus petit element c'est .

excuse moi d'avoir mal lu ta question!!

j'ai pas trés bien compris tout ce que tu m'a dit

Je dois pour ma question lire le message 14h21 ?

Ok j'ai a peu prés compris mais bon comment rédiger proprement pour prouver l'existence de b ?

je ne vois rien d'autre que le msg de 14.21... Bon courage!

Oui un ensemble non vide admet un plus petit element mais j'arrive pas a comprendre comment à partir de là t'en déduit que b existe

En fait pourquoi tu te place dans l'intervalle [1;p-1] inter A alors qu'en disant que p-1 € à l'ensemble que tu as définit c'est suffisant non ?

oui
toute partie non vide de N admet toujours un plus petit element ; prends
elle contient (p-1)
donc elle n'est pas vide, elle a donc un plus petit element

Mon prof de spé risque de devenir fou si il me vois écrire se type de notation avec par exemple | pour tel que  je vais donc écrire soit A l'ensemble des entiers naturels non nul tel que 4^x congru 1 [p]
quoi qu'il en soit j'ai compris et je te remerci

tels que  à part ça ça va , tu es surement capble de te faire Ta redaction, ce que je te conseille vivement. je sais que je suis retro avec mes | ... Bonne continuation