Forum : statistiques :
papier semi logarithmique

bonjour,


sauf indication contraire, les résultats seront arrondis à 10^-4

le tableau suivant donne, en millions, la population mondiale de 1400 à 2000.


année | rang xi de l'année | population yi

1400   | 0                           | 374
1500   | 100                       | 458
1600   | 200                       | 580
1800   | 400                       | 958
1900   | 500                       | 1650
1950   | 550                       | 2519
1970   | 570                       | 3691
1980   | 580                       | 4430
1990   | 590                       | 5255
2000   | 600                       | 6057



1. on décide de faire un ajustement exponentiel, en ignorant les quatre premières données.
on pose zi = ln(yi)
a/ reproduire et compléter le tableau suivant par les valeurs zi.

rang xi de l'année | zi = ln(yi)

500                       |
550                       |
570                       |
580                       |
590                       |
600                       |

b/ donner une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés

c/ en déduire une relation entre y et x de la forme y = b * a^x

d/ utiliser cet ajustement pour estimer, au millions près, la population mondiale en 2010.



je trouve

1. a/

rang xi de l'année | zi = ln(yi)

500                       | 7.4085
550                       | 7.8316
570                       | 8.2136
580                       | 8.3961
590                       | 8.5669
600                       | 8.7089

b/ a = 4.4495 e -0.3
b = 5.62063818

donc
z= 0.0045x + 5.6206

c/ je ne comprend pas

d/

z= 0.0045x + 5.6206
donc
z = 0.0045 * 610 + 5.6206
= 8.366

j'ai oublier dans le
c/ déterminer a et b deux réels

Bonjour,

c'est juste la c qui pose problème ?

Je trouve z = 0.00133x + 0.6857

citation :
c/ en déduire une relation entre y et x de la forme y = b * a^x

z = lny = 0.0133x + 0.6857

y = e^(0.0133x + 0.6857) = e^(0.6857)*e^(0.0133x)

e^(0.6857) est le nombre b qui est égal à 1.99  

e^(0.0133x) = e^(0.0133)^x = 1.01^x donc a = 1.01


donc y = 1.99*1.01^x

voilà

ah oui effectivement je me suis trompé c'est

z = 0.013 + 0.6857

parce que j'avais pris par rapport au premier tableau

mais pouvez vous m'expliquez le c/

le c) c'est mon message de 21:33

e^(lny) = y

ensuite on applique e^(ax + b) = e^(ax)*e^b

et e^(ax) = (e^(a))^x

ce sont les formules du cours exp et ln

Cet exo est un classique du bac ES. Je vais voir si je trouve une annale corrigée pour te montrer.

Voilà un corrigé type

Question 3 a)

merci j'avais pas  vu et j'ai compris maintenant
mais pour le
d/
ce n'est pas cohérent puisque
y = 1.99*1.01^x
   = 1.99 * 1.01^610
   = 860.779

sauf si
860 + 6057 = 6917

non au fait c'est
y = 1.985*1.01^x
   = 1.985 * 1.01^610
= 5242.304
mais cela reste incohérent car la population diminue

je trouve 6536 millions avec la formule mais je travaille en valeurs exactes.

ce n'est pas 1.01 mais 1.0133