Challenge n°50
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Challenge n°50
Posté le 26-11-04 à 20:22
Posté par 
puisea puisea 
Bonsoir tout le monde, il s'agit ici de la 50è édition des énigmes mathématiques que je propose sur ce forum...
Soyez concentré et surtout bonne chance à vous
"L'unité dans l'identité"
On a : a² + b² + c² = 1
Que vaut a4+(ab+c)²+(ac-b)² ?
Il s'agit d'une QRC, pas besoin d'une dissertation
@+
puisea.
puisea puisea Bonsoir tout le monde, il s'agit ici de la 50è édition des énigmes mathématiques que je propose sur ce forum...
Soyez concentré et surtout bonne chance à vous
"L'unité dans l'identité"
On a : a² + b² + c² = 1
Que vaut a4+(ab+c)²+(ac-b)² ?
Il s'agit d'une QRC, pas besoin d'une dissertation
@+
puisea.
re : Challenge n°50 Posté le 26-11-04 à 20:42
Posté le 26-11-04 à 20:42Posté par gilbert (invité)
a4+(ab+c)2+(ac-b)2=
a4+(ab)2+c2+(ac)2+b2= a2(a2+b2+c2)+b2+c2=a2+b2+c2=1
Le résultat est égal à 1.
a4+(ab+c)2+(ac-b)2=a4+(ab)2+c2+(ac)2+b2= a2(a2+b2+c2)+b2+c2=a2+b2+c2=1
Le résultat est égal à 1.
re : Challenge n°50 Posté le 26-11-04 à 20:47
Posté le 26-11-04 à 20:47Posté par dad97 dad97 
Bonsoir,
euh c'est quoi une QRC
sinon :
^2+(ac-b)^2=a^4+a^2b^2+c^2+2abc+a^2c^2-2abc+b^2)
+b^2+c^2)
car 
car
donc ma réponse est a4+(a+bc)2+(ac-b)2=1
Salut
dad97 dad97 Bonsoir,euh c'est quoi une QRC
sinon :
donc ma réponse est a4+(a+bc)2+(ac-b)2=1
Salut
re : Challenge n°50 Posté le 26-11-04 à 21:10
Posté le 26-11-04 à 21:10Posté par ericbfd (invité)
Voici ma reponse
a4+(ab+c)²+(ac-b)²= 1
Voici ma reponsea4+(ab+c)²+(ac-b)²= 1
challenge en cours Posté le 26-11-04 à 21:13
Posté le 26-11-04 à 21:13Posté par pietro (invité)
Réponse : 1
En effet E= a^4 + a^2.b^2 + 2a.b.c + c^2 +a^2.c^2 - 2.a.b.c +b^2 = a^4 + a^2.(b^2 + c^2) + (b^2 + c^2)
= a^4 + a^2.(1 - a^2) + (1 - a^2)
= a^4 + a^2 - a^4 + 1 - a^2
= 1
Réponse : 1
En effet E= a^4 + a^2.b^2 + 2a.b.c + c^2 +a^2.c^2 - 2.a.b.c +b^2 = a^4 + a^2.(b^2 + c^2) + (b^2 + c^2)
= a^4 + a^2.(1 - a^2) + (1 - a^2)
= a^4 + a^2 - a^4 + 1 - a^2
= 1
re : Challenge n°50 Posté le 26-11-04 à 23:16
Posté le 26-11-04 à 23:16Posté par mizoun (invité)
réponse du soir bonsoir:
(ab + c)² = a²b² + c²+ 2abc
(ac - b)² = a²c² + b² - 2abc
donc a^4+(ab+c)²+(ac-b)² = a^4 + a²b² + a²c² + c² + b²
a^4+(ab+c)²+(ac-b)² = a²(a² + b² + c²) + c² + b²
or a² + b² + c² = 1
donc a^4+(ab+c)²+(ac-b)²= a²+c²+b²
d'ou a^4+(ab+c)²+(ac-b)²= 1
@++
réponse du soir bonsoir:(ab + c)² = a²b² + c²+ 2abc
(ac - b)² = a²c² + b² - 2abc
donc a^4+(ab+c)²+(ac-b)² = a^4 + a²b² + a²c² + c² + b²
a^4+(ab+c)²+(ac-b)² = a²(a² + b² + c²) + c² + b²
or a² + b² + c² = 1
donc a^4+(ab+c)²+(ac-b)²= a²+c²+b²
d'ou a^4+(ab+c)²+(ac-b)²= 1
@++ re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 00:20
Posté le 27-11-04 à 00:20Posté par jac290688 jac290688
tres joli!
c 1
a4+(ab+c)2+(ab-c)2=a4+a2b2+c2+2abc+a2b2+c2-abc
=a2(a2+b2+c2)+b2+c2=a2+b2+c2=1!
jac290688 jac290688tres joli!c 1
a4+(ab+c)2+(ab-c)2=a4+a2b2+c2+2abc+a2b2+c2-abc
=a2(a2+b2+c2)+b2+c2=a2+b2+c2=1!
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 00:34
Posté le 27-11-04 à 00:34Posté par Serphone (invité)
On a:
a4 + (ab+c)2 + (ac-b)2 = a2 (a2+b2+c2) + c2 + b2
Alors ca donne:
a4 + (ab+c)2 + (ac-b)2 = 1
On a: a4 + (ab+c)2 + (ac-b)2 = a2 (a2+b2+c2) + c2 + b2
Alors ca donne:
a4 + (ab+c)2 + (ac-b)2 = 1
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 04:39
Posté le 27-11-04 à 04:39Posté par pinotte (invité)
a4+(ab+c)2+(ac-b)2 =
a4+a2b2+2abc+c2+a2c2-2abc+b2 =
a4+a2b2+a2c2+b2+c2 =
a2(a2+b2+c2)+b2+c2 =
a2+b2+c2 =
1
Alors voilà, ça donne 1!
a4+(ab+c)2+(ac-b)2 = a4+a2b2+2abc+c2+a2c2-2abc+b2 =
a4+a2b2+a2c2+b2+c2 =
a2(a2+b2+c2)+b2+c2 =
a2+b2+c2 =
1
Alors voilà, ça donne 1!
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 09:02
Posté le 27-11-04 à 09:02Posté par nassifs (invité)
a4+(ab+c)²+(ac-b)²= a[/sup]4+b[sup]2+c[/sup]2+a[sup]2b[/sup]2+a[sup]2c[/sup]2=a[sup]4+b[/sup]2(a[sup]2+1)+c[/sup]2(a[sup]2+1)=a[/sup]4+a[sup]2(b[/sup]2+c[sup]2)+b[/sup]2+c[sup]2=a[/sup]2(a[sup]2+b[/sup]2+c[sup]2)+b[/sup]2+c[sup]2 or a² + b² + c² = 1 donc a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1
a4+(ab+c)²+(ac-b)²= a[/sup]4+b[sup]2+c[/sup]2+a[sup]2b[/sup]2+a[sup]2c[/sup]2=a[sup]4+b[/sup]2(a[sup]2+1)+c[/sup]2(a[sup]2+1)=a[/sup]4+a[sup]2(b[/sup]2+c[sup]2)+b[/sup]2+c[sup]2=a[/sup]2(a[sup]2+b[/sup]2+c[sup]2)+b[/sup]2+c[sup]2 or a² + b² + c² = 1 donc a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1reponse a l énigme challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 10:49
Posté le 27-11-04 à 10:49Posté par skysker (invité)
a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1
a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 12:11
Posté le 27-11-04 à 12:11Posté par muriel muriel
que de monde
(toujours pas de smiley, ni de poisson )
que veut dire QRC?
allons donnons qu'en même une réponse:
a4+(ab+c)²+(ac-b)²
=a4+a²b²+2abc+c²+a²c²-2abc+b²
=a²(a²+b²+c²)+b²+c²
=a²+b²+c²
=1
à oui tu voulais une dissertation, alors en voici une
(à ne lire que si vous n'avez pas peur de vous embrouiller en maths )
le problème, c'est qu'il n'est pas indiquer sur quel ensemble on travaille,
je vais donc supposer que nous sommes sur un anneau munit d'une loi interne + et d'une loi interne
donc si notre anneau n'est pas muni d'une loi interne commutative, nous obtenons ce genre de chose:
le terme (ab+c)² est égale à abab+abc+cab+c²
le terme (ac-b)² est égale à acac-acb-bac+b²
ce qui fait qu'on ne peut pas simplifier et on trouve ce résultat:
+abab+abc+cab+c²+acac-acb-bac+b²
et c'est tout ce qu'on peut arriver à faire.
parcontre si notre anneau un munit des lois internes commutatives (+ et ), on va pouvoir regrouper des choses, ce qui nous donne:
abab=a²b²
acac=a²c²
abc=acb=bac=bca=cab=cba
ainsi:
+a²b²+c²+2abc+a²c²+b²-2abc
=+a²b²+c²+a²c²+b²
ici il faut penser à=a²a²
et donc:
+a²b²+c²+a²c²+b²
=a²a²+a²b²+c²+a²c²+b²
a²a²+a²b²+a²c²+b²+c² (car + est commutative)
on peut alors factoriser par a²:
a²a²+a²b²+c²+a²c²+b²
=a²(a²+b²+c²)+b²+c²
d'après l'unique hypothèse (je tiens à le signaler encore une fois), nous savons que:
a²+b²+c²=1
en supposant que le 1 définit l'élément neutre de la loi interne
donc:
a²(a²+b²+c²)+b²+c²
=a² 1+b²+c²
=a²+b²+c²
car a² 1=1 a²=a²
donc
a²+b²+c²=1
ainsi après avoir fais d'énorme suppositions (je suis sûre d'en avoir oublier )
on peut dire que
a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1
j'espère que pour ceux qui sont arriver à comprendre cela vous a plu
pour les autres, je suis désolée de vous avoir fait peur (mais j'avais prévenu qu'il ne fallait lire la suite qui si vous pensiez ne pas avoir peur des maths)
je tiens à m'exuser, si par malheur, j'ai oublié des conditions sur les éléments a, b et c (ou sur d'autre point)
alors Puisea, juste ou pas juste?
ciao
muriel muriel que de monde
(toujours pas de smiley, ni de poisson
)que veut dire QRC?
allons donnons qu'en même une réponse:
a4+(ab+c)²+(ac-b)²
=a4+a²b²+2abc+c²+a²c²-2abc+b²
=a²(a²+b²+c²)+b²+c²
=a²+b²+c²
=1
à oui tu voulais une dissertation, alors en voici une
(à ne lire que si vous n'avez pas peur de vous embrouiller en maths )
le problème, c'est qu'il n'est pas indiquer sur quel ensemble on travaille,
je vais donc supposer que nous sommes sur un anneau munit d'une loi interne + et d'une loi interne
donc si notre anneau n'est pas muni d'une loi interne
le terme (ab+c)² est égale à abab+abc+cab+c²
le terme (ac-b)² est égale à acac-acb-bac+b²
ce qui fait qu'on ne peut pas simplifier et on trouve ce résultat:
et c'est tout ce qu'on peut arriver à faire.
parcontre si notre anneau un munit des lois internes commutatives (+ et
abab=a²b²
acac=a²c²
abc=acb=bac=bca=cab=cba
ainsi:
=
ici il faut penser à
et donc:
=a²a²+a²b²+c²+a²c²+b²
a²a²+a²b²+a²c²+b²+c² (car + est commutative)
on peut alors factoriser par a²:
a²a²+a²b²+c²+a²c²+b²
=a²(a²+b²+c²)+b²+c²
d'après l'unique hypothèse (je tiens à le signaler encore une fois), nous savons que:
a²+b²+c²=1
en supposant que le 1 définit l'élément neutre de la loi interne
donc:
a²(a²+b²+c²)+b²+c²
=a²
=a²+b²+c²
car a²
donc
a²+b²+c²=1
ainsi après avoir fais d'énorme suppositions (je suis sûre d'en avoir oublier
)on peut dire que
a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1
j'espère que pour ceux qui sont arriver à comprendre cela vous a plu
pour les autres, je suis désolée de vous avoir fait peur (mais j'avais prévenu qu'il ne fallait lire la suite qui si vous pensiez ne pas avoir peur des maths)
je tiens à m'exuser, si par malheur, j'ai oublié des conditions sur les éléments a, b et c (ou sur d'autre point)
alors Puisea, juste ou pas juste?
ciao
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 12:45
Posté le 27-11-04 à 12:45Posté par juliannem (invité)
Bonjour. Développons a[/sup]4 etc..... On trouve ainsi a[sup]2(a[/sup]2+c[sup]2+b[/sup]2)+b[sup]2+c[/sup]2. Or a[sup]2+b[/sup]2+c[sup]2= 1 donc on trouve que a[/sup]4 +(ab+c)[sup]2+(ac-b)[sup][/sup]2=1
Donc ma réponse est 1
Bonjour. Développons a[/sup]4 etc..... On trouve ainsi a[sup]2(a[/sup]2+c[sup]2+b[/sup]2)+b[sup]2+c[/sup]2. Or a[sup]2+b[/sup]2+c[sup]2= 1 donc on trouve que a[/sup]4 +(ab+c)[sup]2+(ac-b)[sup][/sup]2=1Donc ma réponse est 1
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 13:00
Posté le 27-11-04 à 13:00Posté par Loulou23 (invité)
Ben ça fait 1 si mes calculs sont bons.....
Ben ça fait 1 si mes calculs sont bons.....chalange50 Posté le 27-11-04 à 14:28
Posté le 27-11-04 à 14:28Posté par papé (invité)
bonjour à tous
il y a longtemps que je ne suis pas venu
Quel plaisir!
Voici mon idée pour l'énigme 50
a^2+b^2+c^2=1
a^4+(ab+c)^2+(ac-b)^2=
a^2*a^2+a^2b^2+2abc+c^2+a^2c^2-2abc+b^2=
a^2*(a^2+b^2+c^2)^+b^2+c^2=
a^2+b^2+c^2=1
bonjour à tous il y a longtemps que je ne suis pas venu
Quel plaisir!
Voici mon idée pour l'énigme 50
a^2+b^2+c^2=1
a^4+(ab+c)^2+(ac-b)^2=
a^2*a^2+a^2b^2+2abc+c^2+a^2c^2-2abc+b^2=
a^2*(a^2+b^2+c^2)^+b^2+c^2=
a^2+b^2+c^2=1
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 15:06
Posté le 27-11-04 à 15:06Posté par timo23 (invité)
le resultat sera forcément 1!
on croise les doigts et on attend le resultat!
le resultat sera forcément 1! on croise les doigts et on attend le resultat!
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 15:11
Posté le 27-11-04 à 15:11Posté par Archange21 Archange21
Salut tout le monde
Pour que a2+b2+c2=1
Alors a=1 b=0 c=0
ou a=0 b=1 c=0
ou a=0 b=0 c=1
Quelque soit la valeur on trouve donc que
a4+(ab+c)2+(ac-b)2= 1
Ma réponse est donc 1
Voila, @+
Archange21 Archange21Salut tout le mondePour que a2+b2+c2=1
Alors a=1 b=0 c=0
ou a=0 b=1 c=0
ou a=0 b=0 c=1
Quelque soit la valeur on trouve donc que
a4+(ab+c)2+(ac-b)2= 1
Ma réponse est donc 1
Voila, @+
réponse: 1 Posté le 27-11-04 à 15:48
Posté le 27-11-04 à 15:48Posté par dgvincent (invité)
En dvpant l'égalité, on obtient:
a^4+(ab+c)²+(ac-b)²=a^4+(a²+1)(1-a²)=1
En dvpant l'égalité, on obtient:a^4+(ab+c)²+(ac-b)²=a^4+(a²+1)(1-a²)=1
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 16:37
Posté le 27-11-04 à 16:37Posté par Emma (invité)
Coucou
Pas de dissertation ? C'est pas mon truc, mais bon
Si a² + b² + c² = 1
Alors a4 + (a.b + c)² + (a.c - b)² = 1
Mais au fait
c'est quoi, une QRC ?
@+
Emma
Coucou
Pas de dissertation ? C'est pas mon truc, mais bon
Si a² + b² + c² = 1
Alors a4 + (a.b + c)² + (a.c - b)² = 1
Mais au fait
c'est quoi, une QRC ?@+
Emma
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 19:47
Posté le 27-11-04 à 19:47Posté par slipknot (invité)
on a a2 + b2 + c2=1
donc sachant qu'un carré est toujours positif a, b et c sont égale à 0 ou 1
donc si a=1, b=0 et c=0
si b=1, a=0 et c=0
et si c=1, a=0 et b=0
donc dans tous les cas a4+(ab+c)²+(ac-b)² = 1
on a a2 + b2 + c2=1donc sachant qu'un carré est toujours positif a, b et c sont égale à 0 ou 1
donc si a=1, b=0 et c=0
si b=1, a=0 et c=0
et si c=1, a=0 et b=0
donc dans tous les cas a4+(ab+c)²+(ac-b)² = 1
re : Challenge n°50 Posté le 27-11-04 à 23:24
Posté le 27-11-04 à 23:24Posté par Belge-FDLE Belge-FDLE
Salut à tous ,
Ma réponse est : 1
Raisonnement (si on peut appeler ça un raisonnement)
On dévellope le tout, puis on factorise ce que l'on peut par a2. Le tour est joué, il ne reste plus qu'à remplacer la somme des trois carrés par 1 :
^2+(ac-b)^2&=&a^4+a^2b^2+2abc+c^2+a^2c^2-2abc+b^2\\a^4+(ab+c)^2+(ac-b)^2&=&a^4+a^2b^2+c^2+a^2c^2+b^2\\a^4+(ab+c)^2+(ac-b)^2&=&a^2(a^2+b^2+c^2)+c^2+b^2~~or~a^2+b^2+c^2=1\\donc~a^4+(ab+c)^2+(ac-b)^2&=&a^2+c^2+b^2\\a^4+(ab+c)^2+(ac-b)^2&=&1})
Voili voilou.
Bonne chance à tous, et merci à Puisea pour cette énigme 
(tout particulièrement en cette 50ème édition, ça se fête non ? Avec un joli smiley espérons le )
À +
Belge-FDLE Belge-FDLESalut à tous ,Ma réponse est : 1
Raisonnement (si on peut appeler ça un raisonnement
)On dévellope le tout, puis on factorise ce que l'on peut par a2. Le tour est joué, il ne reste plus qu'à remplacer la somme des trois carrés par 1
:Voili voilou
.Bonne chance à tous
, et merci à Puisea pour cette énigme (tout particulièrement en cette 50ème édition, ça se fête non ? Avec un joli smiley espérons le )À +
bonjour voici la réponse Posté le 28-11-04 à 11:38
Posté le 28-11-04 à 11:38Posté par chan (invité)
bonjour
cet question est égale à 1
bonjour
cet question est égale à 1
re : Challenge n°50 Posté le 28-11-04 à 19:35
Posté le 28-11-04 à 19:35Posté par despe40 (invité)
la réponse est 1....
je peut donner le raisonement si'il le faut!
la réponse est 1....je peut donner le raisonement si'il le faut!
re : Challenge n°50 Posté le 28-11-04 à 20:02
Posté le 28-11-04 à 20:02Posté par Graubill (invité)
Ca fait bien longtemps que je n'ai pas visité le site...
Enfin voila ma reponse:
E =
a^4+(ab+c)²+(ac-b)² =
a^4+a²b²+2abc+c²+a²c²-abc+b² =
a^4 + a²(1-a²) + 1 -a² =
a^4 + a² - a^4 + 1 - a² = 1
E = 1
Ca fait bien longtemps que je n'ai pas visité le site...Enfin voila ma reponse:
E =
a^4+(ab+c)²+(ac-b)² =
a^4+a²b²+2abc+c²+a²c²-abc+b² =
a^4 + a²(1-a²) + 1 -a² =
a^4 + a² - a^4 + 1 - a² = 1
E = 1
re : Challenge n°50 Posté le 28-11-04 à 20:46
Posté le 28-11-04 à 20:46Posté par Shobu (invité)
alors je ne sais s 'est la bonne reponse mias je dirais que:
a4+(ab+c)²+(ac-b)²= a4+ac2+b2+ab2+c2
a4+ac2+b2+ab2+c2 = 1+ac2+ab2
apres je sais plus comment faire
alors je ne sais s 'est la bonne reponse mias je dirais que:a4+(ab+c)²+(ac-b)²= a4+ac2+b2+ab2+c2
a4+ac2+b2+ab2+c2 = 1+ac2+ab2
apres je sais plus comment faire
re : Challenge n°50 Posté le 28-11-04 à 20:50
Posté le 28-11-04 à 20:50Posté par red__helling (invité)
a4+(ab+c)²+(ac-b)² = a4+a²b²+c²+2abc+a²c²+b²-2abc = a²(a²+b²+c²)+b²+c²= a²+b²+c² = 1
a4+(ab+c)²+(ac-b)² = a4+a²b²+c²+2abc+a²c²+b²-2abc = a²(a²+b²+c²)+b²+c²= a²+b²+c² = 1re : Challenge n°50 Posté le 28-11-04 à 21:20
Posté le 28-11-04 à 21:20Posté par puisea puisea
Et bien je dois dire que vous avez fait honneur à cet 50è édition de mes challenges avec un nouveau record de participation... Merci à vous tous...
La réponse attendue était 1. Je pense que le pourquoi du comment n'a pas besoin d'être explicité vu le nombre de réponses bonnes...
Le taux de réussite de cette énigme est de 90%
Pour ce qui est de la signification de QRC, il s'agit d'une Question à Réponse Courte que l'on retrouve de plus en plus à la place des QCM...
Voila, prochaine énigme dans deux minutes...
Pour muriel : j'ai adorée ta réponse !!
puisea puisea Et bien je dois dire que vous avez fait honneur à cet 50è édition de mes challenges avec un nouveau record de participation... Merci à vous tous...
La réponse attendue était 1. Je pense que le pourquoi du comment n'a pas besoin d'être explicité vu le nombre de réponses bonnes...
Le taux de réussite de cette énigme est de 90%
Pour ce qui est de la signification de QRC, il s'agit d'une Question à Réponse Courte que l'on retrouve de plus en plus à la place des QCM...
Voila, prochaine énigme dans deux minutes...
Pour muriel : j'ai adorée ta réponse !!
re : Challenge n°50 Posté le 28-11-04 à 23:14
Posté le 28-11-04 à 23:14Posté par noluck noluck
en effet, félicitations a muriel!
c est bien le genre de trucs auxquels je pense pas!!!
y en a qui ont de bons reflex!
noluck nolucken effet, félicitations a muriel!c est bien le genre de trucs auxquels je pense pas!!!
y en a qui ont de bons reflex!
re : Challenge n°50 Posté le 29-11-04 à 13:56
Posté le 29-11-04 à 13:56Posté par muriel muriel
merci merci
noluck: c'est quoi les trucs que tu ne penses pas: faire une dissertation alors qui est explicitement écrit le contraire, ou le fait de chercher la petite bête en montrant l'importance des conditions initiales?
muriel muriel merci merci
noluck: c'est quoi les trucs que tu ne penses pas: faire une dissertation alors qui est explicitement écrit le contraire, ou le fait de chercher la petite bête en montrant l'importance des conditions initiales?
re : Challenge n°50 Posté le 29-11-04 à 17:53
Posté le 29-11-04 à 17:53Posté par Anthony Anthony
Hum j'ai fait "posté" au leiu de " la tete de smiley"
et je voulais que sa fait meme pas un page et que normalement une dissertation sa en fait 6 ( d'apres ma prof )
Mais evidemment, Je Rigole
Je nbe veux pas etre posteur d'enigme ! J'aurais jamais le courage d tout lire !
Anthony AnthonyHum j'ai fait "posté" au leiu de " la tete de smiley"
et je voulais que sa fait meme pas un page et que normalement une dissertation sa en fait 6 ( d'apres ma prof )
Mais evidemment, Je Rigole
Je nbe veux pas etre posteur d'enigme ! J'aurais jamais le courage d tout lire !
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