Forum : algèbre :
sous-valeurs propres d'une matrice symétrique

Bonjour,

Un bloc diagonal d'une matrice symétrique est une matrice symétrique. Peut-on donner une lien entre les valeurs propres d'une matrice symétrique et celles d'un de ses blocs diagonaux ? Ou un lien entre les vecteurs propres ?

Pourtant ça marche

En effet bonjour stokastik

Bonjour,

je n'ai pas compris les remarques d'Océane et de Bourricot sur ce coup!

Tu considères une matrice symétrique par blocs?Tu as l'air de le sous-entendre lorsque tu parles de l'un de ses blocs diagonaux.De plus elle est à coefficients dans quoi ta matrice?

citation :
je n'ai pas compris les remarques d'Océane et de Bourricot sur ce coup!

Normal c'est lié à un autre topic.


Oui j'ai bien dit un bloc diagonal, et il s'agit d'une matrice à coefficients réels.

Bonjour stokastik

S'il s'agit juste de blocs diagonaux, (sasn beaucoup de zéros ailleurs, je ne crois pas qu'il y ait des résultats.

La matrice est symétrique et a pour valeurs propres 0 et 3 alors que les "blocs diagonaux" sont (1) et (2).

Le seul résultat qui me vient à l'esprit est que si les déterminants des blocs diagonaux comptés à partir du haut à gauche sont tous strictement positifs, la matrice correpond à une forme définie positive (mais ça n'a pas grand rapport)

J'ai rien de mieux à donner la... qu'elle genre de lien tu cherche ?... y a peut-etre des inégalité entre les rayons spectraux des sous bloc et celui de la matrices entière par exemple

En fait mon problème, à la base, est le suivant.

J'ai une matrice symétrique définie positive . À partir de celle-ci je me demande comment construire toutes les matrices symétriques définies positive , d'une taille fixée plus grande que celle de , telles est le bloc diagonal inférieur:



On a par exemple comme contrainte le fait que est symétrique définie positive si A est symétrique définie positive.

hum... à ta palce j'essairai de réfléchir en terme de forme quadratique...

en gros tu as une forme quadratique positive sur un sous espace et tu cherche à l'étendre à l'espace tous entier en une forme quadratique définie positive.

et en fait c'est assez simple !


appelons E ton espace, et V le sous espace sur lequ'elle tu connais ta forme quadratique q.

tu choisit un suplaimentaire de V, V' qui correspondra a terme à l'orthogonal de V pour la produit scalaire associé a q. tu choisit une forme quadratique définie positive sur V', appelons la q', et ta forme quadratique final est q+q' !

sauf erreur ce procédé est bien "bijectif" à chaque prolongement de q correspond un  et un seul suplaimentaire V' et une unique forme quadratique q' sur V'

NB : pour que la correspondance soit bien bijective il est important de travailler unique avec des forme Définie. pour des forme juste positive c'est plus compliqué j'ai l'impression...

euh j'ai été un peu vite en écrivant q+q'...

je voulais dire, "tu prend un x quelconque, tu le décompose en v+v', avec v dans V et v' dans V' et tu calcule q(v)+q'(v')"

Merci Ksilver. Je n'ai pas encore tout saisi mais j'ai une première question. Concrétement si V est le sous espace de  R^4  engendré par  (0,0,0,1)  et  (0,0,1,0), comment je peux obtenir tous les supplémentaires  V'  de  V  dans  R^4 ?  

euh... trés bonne question :p

ca dépend beaucoup de ce que tu veux faire la... tu peut commencer par choisir un vecteur a qui n'est pas dans V, puis un vecteur b qui n'est pas dans vect(a,v), alors vect(a,b) est solution : tu trouve tous les suplaimentaire ainsi, mais tu les trouve tous une infinité de fois... en gros ce qu'il faut c'est décrire l'ensemble des suplaimentaire d'un sous espace donné... j'ai jammais réfléchit à la question.

de facon équivalente tu peux aussi essayer de chercher l'ensemble des projecteur sur un espace donné... mais j'ai pas non plus d'idée sur comment faire cela "concretement"... encore une fois ca dépend de la "forme" de résultat que tu espère.

Re,

"Concrétement" ça signifie que dans un ordinateur, j'ai fixé la matrice . Je veux alors être capable de construire n'importe laquelle des matrices possibles. Toutes les construire, je ne pourrais pas, il y en a une infinité, mais je veux "balayer" toutes les matrices possibles, en faisant varier des paramètres... mais de façon bijective si possible... comme le concept de dimension quoi !! ... en faisant varier 4 nombres avec un ordinateur, tu balayes toutes les matrices 2x2 possibles...  pourrait-on déterminer une "dimension" de l'ensemble des matrices solutions de mon problème ?

Sinon pour les Obtenir tous, une facon est de prendre une matrice M inversible de la forme (par bloc) :
M1 0
M2 Id

de choisir une matrice définie positive B (de la taille de A11)


est de calculer M*diag(B,A22)*M^(-1)

(ou M^(-1)diag(A,B)*M je sais jammais... enfin essai tu vera bien ce qui marche...)


et si tu veux les obtenir toute une feul fois, il suffit de ne jammais choisir deux M telle que l'espace engendré par les premier colones soit le meme... mais on est ramené au meme genre de probleme que de trouver un supplaimentaire...

pourrait-on déterminer une "dimension" de l'ensemble des matrices  solutions de mon problème ?

>>> oui on pourrai... mais ca n'aurait pas vraiment de sens, vu que les conditions que tu impose sont des inégalité elle ne change pas la dimension... (donc à vu de nez ca ne m'étonnerait pas qu'on tombe sur une dimension (n-p)²+p*(n-1)

Tu dis qu'on prendrait  A=M*diag(B,A22)*M^(-1) ? T'es sûr que c'est symétrique ça ? Et pourquoi ça donnerait toutes les matrices ?

j ai pas comprie la methode de lyapunov pour satblite des systeme lineaire et non lineaire si possible de m oriente ou je peut trouver des exemples corriges

ba l'idée c'est que avec ma construction, si je choisit une base adapté à la somme V+V' (ie une base de V' et une base de V) la forme quadratique que j'obtiens est de la forme Diag(B,A22)

en revanche je me suis planté : il faut prendre M*diag(B,A22)*(transposé de M) plutot, vu que c'est un changement de base pour une forme quadratique qu'on fait...

Ok merci pour ton aide. Finalement on n'a pas abouti. Je m'étais demandé si le théorème de diagonalisation simultanée des matrices symétriques pourrait aider mais bof je crois pas.

Je reviens au problème... allons-y pas à pas pour ceux qui veulent bien..

On a une matrice symétrique définie positive de taille . Soit une matrice ligne . À quelle condition sur existe-t-il un réel tel que la matrice (de taille )



est (symétrique) définie positive ?

Et à fixée, quelles sont les valeurs possibles de ?

... moi ce que j'en pense c'est que peut être quelconque et qu'on a où j'ai posé .

Je suis de plus en plus persuadé!!!

J'affirme que: Une matrice carrée



est symétrique définie positive si et seulement si est symétrique définie positive et si on a .

Cela permet de construire récursivement toutes les matrices de mon problème posté le 28/04/2008 à 18:34.

Qu'en pensez-vous ?

Ca m'a l'air pas mal...

Personellement, je trouve que A est définie positive si et seulement si A22 est définie positive, et que detA>0

j'imagine qu'en dévelopant la condition detA >0 on trouve la meme inégalité que celle que tu as écrite... (j'ai pas poussé les calcules jusqu'au bout, mais ca s'annoncait bien ^^ )

Je crois que plus généralement:



est symétrique définie positive si et seulement et sont symétriques définies positive... mais j'ai un doute maintenant...

Je vois une autre possibilité!

La matrice est donnée. On se donne une matrice quelconque, une matrice symétrique définie positive et on pose

Salut !


pour ton premier critère je sais aps si c'est vrai, mais en tous cas ca à l'air cohérent (y a le bon nombre d'inégalité, et pas de contre exemple évident ^^ ), faudrait que j'y réfléchisse.

pour le deuxieme, ca donne bien une matrice définie positive, mais je sais pas si elles sont toute de cette forme la... faudrait aussi que j'y réfléchisse...

Hello l'ami,

Je crois que l'essentiel est de remarquer que si



et



alors



(ou quelque chose qui ressemble)....

Hello Ksilver. Si ça t'intéresse, ceci est en relation avec le complément de Schur