Forum Mathématique (Lycée) :
Coniques

Bonjour
On donne deux points A et B du plan.Pour tout reel m non nul,on note D(m) l'ensemble des points M du plan verifiant  l'egalite    ou H est le projete orthogonal de M sur (AB).
Demontrer que D(m) est une conique dont on determinera la nature suivant les valeurs de m.

j'ai esseye de transformer le membre de droite pour aboutir a la definition generale d'une  conique mais j'ai pas reussi.

Bonjour.

Je te propose une solution par les coordonnées.

On prend un repère orthonormal dont l'axe des abscisses est porté par (AB), dont l'origine est le milieu O de [AB] et dont l'axe des ordonnées est la perpendiculaire en O à (AB).

On pose A(-a,0), B(a,0), M(x,y). Alors, H(x,0).

Je te laisse effectuer le calcul. Pour ma part (à vérifier), je trouve :

bonjour,
soit O le milieu de AB ,tu prends deux axes OX et OY 0X porté par AB et OY perpendiculaire en O à AB
les coordonnées de A sont (-a,0),celles de B (a,0) et celles de M (x,y)
tu traduis le texte:
y²=m(-a-x)(a-x)=-m(a²-x²)
soit y²+mx²=-ma²....

erreur de frappe c'est y²-mx²=

Bonjour

Une piste possible.

On peut sans perte de généralité considérer un repère orthonormal d'origine O milieu de [AB] avec A et B de coordonnées respectives (-1;0) et (1;0)

Soit M de coordonnées (x;y)

;

on obtient donc l'équation



A voir ...

argh. Ecrire en Latex, c'est pas mon fort.

bonjour

résolution analytique:

tu rapportes le plan au repère orthonormé suivant: (A,i,j)

i=AB/||AB|| et j tel que (i,j) base orthonormale directe;

alors M(x,y) un point du plan par rapport à (A,i,j)
HM=y
HA=-x
HB=(b-x)  ; b étant l'abscisse de B

HM²=mHA.HB ssi y²=m(-x)(b-x)=m(x²-bx)=mx²-bmx

           ssi mx²-y²-mbx=O
           ssi m(x-b/2)²-mb²/4-y²=0
           ssi m(x-b/2)²-y²=mb²/4

si m=0 alors y=0
supposons que m non nul

si m<0 alors -m(x-b/2)+y²=-mb²/4
             [(x-b/2)²/(b/2)²]+y²/(bV(-m)/2)²=1

C'est une ellipse de centre (b/2;0)

tu discute selon m si a>b et tu calcules c :c²=a-b² et e=c/a
etc..

oui je comprends
merci de votre  aide