equations sin/cos

Posté par klyder (invité)

slt a tous .

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider a resoudre ces equations .

1)cos(2x)= sin x
2)cos(3x)= sin (x+pi/2)

Merci d'avance

Posté par siOk siOk

Bonjour



Les bases
1) Tu écris une égalité de cos ou une égalité de sin

2) cos(x) = cos(y)  est équivalent à  
      soit x = y   (modulo 2 Pi)
      soit x = -y  (modulo 2 Pi)
   dit autrement
      soit x et y sont deux mesures du même angle
      soit x et y sont des mesures de deux angles opposés.

3)  sin(x) = sin(y)  est équivalent à  
      soit x = y       (modulo 2 Pi)
      soit x = Pi - y  (modulo 2 Pi)
   dit autrement
      soit x et y sont deux mesures du même angle
      soit x et y sont des mesures de deux angles supplémentaires.

4) Une égalité du style  2 x = Pi/6   (modulo 2 Pi), n'implique pas   x = Pi/12  (modulo 2 Pi) ...Mais implique  x = Pi/12  (modulo Pi)
Comme cela est un peut compliquer, il vaut mieux écrire
2x = Pi/6 + k * 2 PI    à la place de  2x = Pi/6 (modulo 2 Pi)
d'où   x = Pi/12 + k * Pi     à la place de x = Pi/12  (modulo Pi)





Exemple:
cos(2x)= sin x    or  sin(x) = cos(Pi/2 - x)    donc cos(2x) = cos(Pi/2 - x)



1er cas:  2x = Pi/2 - x + k * 2PI
3x = Pi/2 + k * 2PI     (k entier relatif)
El là il y a une difficulté: en divisant par 3, on ne sera plus modulo 2PI ...

x = Pi/6 + k * 2/3 PI

Pour k = 0 :     x = Pi/6  
pour k = 1 :     x = 5Pi/6
pour k = 2 :     x = 3/2 Pi
Après pour d'autres k on retombe sur les mêmes.

Le premier cas donne donc 3 familles de solutions qui chacune donne un point différent sur le cercle trigonométrique.



2ième cas:  2x = -(Pi/2 - x) + k * 2PI
2x = -Pi/2 + x + k * 2PI     (k entier relatif)
x = -Pi/2 + k * 2PI     (k entier relatif)
C'est la même famille que pour k = 2 :     x = 3/2 Pi + k * 2Pi trouvée précédemment.



Ensemble de solutions
Si on demande de résoudre dans IR  (il y a une infinité de solutions qui correspondent à toutes les mesures de trois angles différents)
{ Pi/6 + k * 2PI ;    5Pi/6 + k * 2Pi;     3/2 Pi + k * 2Pi   avec k entier relatif}

Si on demande de résoudre dans [0 ; 2 * Pi[ (il y a trois solutions, une mesure par angle)
{ Pi/6 ;    5Pi/6 ;     3/2 Pi   avec k entier relatifs }

Si on demande de résoudre dans ]-Pi ; Pi] (il y a trois solutions, une mesure par angle)
{ Pi/6 ;    5Pi/6 ;     - Pi/2   avec k entier relatifs }



Bon j'espère ne pas m'être planté dans les calculs ...