Forum : équations différentielles :
population de petits rongeurs

Bonsoir à tous, j'ai du mal à résoudre ce problème, merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.

1) On a étudié l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0;+[ dans . La variable réelle t désigne le temps t désigne le temps exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g, une solution, sur l'intervalle [0;+[, de l'équation différentielle (E1) y' = y/4

a) Résoudre (E1) .

Les solutions sont les fonctions de la forme :
C exp (x/4) avec C constante réelle.

b) Déterminer l'expression de g(t) à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs.

g(t) = 100 exp (t/4) car à la date t = 0, exp (t/4) =1, or g(t) représente la population qui à ce moment vaut 100, donc C = 100.

c) Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

Après environs 4 ans et demi (4 ln(3))
Mes résultats sont-ils corrects jusqu'ici ?

2) En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empèche une telle croissance en tuant centaine de rongeurs. On note u(t) le nombre de rongeurs vivant au temps t dans cette région. L'unité choisie pour u(t) est la centaine d'individus. On admet que la fonction u, ainsi défini, satisfait aux conditions :

(E2) *u'(t) = (u(t) / 4) - ([u(t)]² / 12)
     *u(o) = 1

u' désine la dérivée de la fonction u.

a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t)>0. On considère, sur l'intervalle [0;+[, la fonction h défini par h = 1/ u.
Démontrer que la fonction u satisfait aux conditons (E2) si et seulement si h satisfait aux conditions (E3) :

    *h'(t) = -1/4 h(t) + 1/12
    *h(0) = 1
pour tout nombre réel t positif ou nul, où h' désigne la fonction dérivé de h.

Voilà je bloque à cette question, je réfléchis en attendant votre réponse merci d'avance.

Bonsoir,

1) Tes résultats sont corrects oui.
2) Si h=1/u alors que vaut h'=... ? (en fonction de u et u')
donc h'(t)=...(en fonction de u et u')=...(on remplace u' par son expression => en fonction de u uniquement)=...(on remplace u par son expression en fonction de h)

h' = u'/u² ???? où je peux ensuite remplacer u' ????

en utilisant ce que j'ai écrit ci-dessus et après simplification sauf erreur j'arrive à h' = 1/6, ce n'est pas possible