1.
OC + CA' = OA' et OB + BA'= OA'
donc on a OC= OA'- CA'
          OB= OA'- BA'
OC + OB = 2OA' - (CA'+BA')= 2OA'
car CA'+BA'= 0 puisque A milieu de BC


2.
OH=OA+OB+OC
OH = OA+ 2OA'  
soit AO+OH = 2OA'
AH = 2OA'
on en déduit que les droites AH et OA' sont // .
OA' est perpendiculaire à BC car le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des médiatrices du triangle.

Bonsoir

Soit le triangle ABC
  tel que A' est le milieu du côté [BC] et H est l ' orthocentre
V OH = V OA + V OB+ V OC
V OH = V OA + V AH
=> V OA + VAH = V0A +VOB+VOC
=> V AH = V OB + V OC
Or V OB + V OC = V OA' +VA'B + V OA' + VA'C
Comme A' milieu de V BC, V A'B = -V A'C
Il reste  V AH = 2 V OA'

merci beaucoup pour ces reponses vous etes des genis
est ce que vous pouvezme faire de la suite de l'exercices s'il vous plait

3°Demontrez alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
4° de la meme maniere demontrezqu la droite (BH) est perpendiculaires à la droites (AC)
5° que reprensente le point H pour le triangle ABC ?

G designe le centre de gravité du triangle ABC

6° En partant de l'egalité GA=-2GA' , demontrez que: 3OG=OA+2OA'
7° deduisez-en que 3OG=OH
8° deduisez-en l'alignement de O, G,H lorsque le triangle ABC n'est pas equilateral
9° que peut on dire des points O,G,H dans le cas ou ABC est un triangle equilateral?


merci d'avance
merci