Forum : arithmétique :
Demonstration

Bonjour je souhaiterais avoir votre aide sur quelque chose que je ne comprends pas tellement!
J'ai une question dans un DM, je sais comment y répondre mais je n'arrive plus à comprendre pourquoi la réponse est bonne...
Voila la question:
b_n=2x10ⁿ-1  ( n entier naturel )
Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b₃est premier.

liste: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

Je sais qu'il faut montrer que b₃ n'est pas divisible par un nombre premier inférieur à b₃.

Mais pourquoi?Pourriez vous m'aider plz!!

Bonjour,

supposons qu'il ne soit divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée.

Il ne peut alors pas non plus être divisible par un nombre entier k supérieur à sa racine carrée, sinon on aurait

une égalité du type k.d = b3 avec nécessairement d inférieur ou égal à la racine carrée de b3 (sinon k.d > , ce qui est faux).

Mézalor, d est un diviseur de b3, donc tout facteur premier p de d est un diviseur premier de b3 inférieur ou égal à la racine de b3, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Conclusion: b3 n'est dans ce cas divisible par aucun nombre premier, donc il est premier lui-même.

Pardon, la conclusion n'est pas rigoureuse.

J'aurais dû en déduire plutôt que d n'admet aucun facteur premier, donc que d vaut 1, et donc que k vaut b3.

Donc b3, qui n'est divisible que par b3 et 1, est premier.

Okay super!!
Merci beaucoup de ton aide!
A plus.

Avec plaisir!