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Simulation

Bonjour,

J'ai un problème sur cet exercice, j'ai pas aussi mon cours parce que je n'ai pas pu accéder au lycée à cause du "blocus". En gros je ne sais pas la technique Et voici :
Une coccinelle part se promener d'un coin à l'autre du carré ; elle part de A et choisit aléatoirement la direction (horizante H ou verticale V) de sa promenade d'un coin à un autre. Elle s'arrête quand elle revient en A.
Exemple: Elle choisit VHHHVH; ceci correspond au trajet suivant:

           V   H    H    H    V    H
A(départ) -> B -> D -> B -> D -> C -> A.

Ce trajet a une durée de 6 étapes.
On se demande quelle est la durée moyenne d'un trajet.

1. Proposer une façon de simuler un trajet à la calculatrice.
2. Mettre en oeuvre cette simulation pour proposer une durée moyenne.
3. Comparer avec les résultats d'autres simulations ( à effectuer à l'aide du cédérom par exemple).

Voici l'image

Merci d'avance

bonsoir Montereau
la coccinelle revient en A quand le nombre de H et le nombre de V sont tous les deux pairs
après un nombre pair de déplacements, les nombres de H ou de V sont tous deux pairs ou tous deux impairs
s'ils sont impairs, il y a 2 cas sur 4 où ils deviennent pairs après les deux déplacements suivants (HV et VH) et 2 cas sur 4 où ils restent impairs (HH et VV)
la probabilité de 2 déplacements est 1/2
la probabilité de 4 déplacements est (1 - 1/2)/2 = 1/4
la probabilité de 6 déplacements est (1 - 1/2 - 1/4)/2 = 1/8
chaque fois, la somme des probabilités est deux fois plus proche de 1 que la précédente; comme la probabilité suivante est la moitié de cette différence, il en résulte que chaque probabilité est deux fois plus petite que la précédente

moyenne des coups : 2/2  + 4/4 + 6/8 + 8/16 + ...
= somme pour k de 1 à l'infini des termes 2k/2^k
cette addition tend vers 4, mais je ne sais pas le démontrer

Merci pour toutes ces explications mais je ne pense pas que c'est la réponse à la question 1 et aux autres, Parce qu'on ne voit pas ces probabilité en 2nde. D'après ce que j'ai lu dans mon manuel, j'ai vu que la simulation c'est au hasard les nombres.

1
2
4
5
3
6
1
2
4
...       ou 0,98374634635433
             0,09938748766235
             ......

bonjour
voici un programme en langage standard
program coccinelle
variable essais, i, j, compteur, h, v : integer
variable hasard : float
print "nombre d'essais";
input essais
for i = 1 to essai
h = 0 : v = 0
for j = 1 to 2
hasard = rnd 'nombre entre 0 et 1
if hasard < .5 then
h = h+1
else
v = v+1
end if
compteur = compteur + 2
until h mod 2 = 0 and v mod 2 = 0 'a mod b = reste de la division de a par b
next i
print "le nombre moyen est"; compteur/essais
end program

la première paire de déplacements se réalise toujours : elle compte pour 1
la deuxième paire a une chance sur 2 de se réaliser : elle compte pour 1/2 dans la moyenne
la troisième paire a la moitié de la chance de la deuxième de se réaliser : elle compte pour 1/4 dans la moyenne
la nième paire compte pour 1/2^n-1 dans la moyenne

la moyenne est la somme de (1/2)⁰+(1/2)¹+(1/2)²+(1/2)³+...+1/2[sup][/sup = 2 paires = 4 déplacements

for i = 1 to essais 'avec s à essais

Merci encore, mais plutôt est-ce qu'on peut essayer sur Excel etc ?

Et pour la première question tu peux clarifier?

bonjour
on peut adapter le problème au langage VBA, qui est sur Excel
le problème est strictement équivalent à celui-ci
on lance une pièce de monnaie; après combien de lancers en moyenne obtient-on le premier pile (pile équivaut pour la coccinelle à se retrouver à son coin de départ; face au coin opposé)
ou encore, si on note les nombres de lancers qu'il a fallu pour obtenir chaque fois le pile suivant, puis on calcule la moyenne de ces nombres
la moyenne est évidemment 2, puisque pile est obtenu en moyenne une fois sur deux, ce qui équivaut pour la coccinelle à deux paires de déplacements

Merci. mais quelle est la réponse à la question 1? Le reste j'ai bien compris.

bonsoir,
je suis en train de faire ca avec mes eleves ...demain à 8h donc si personne ne t'a repondu je posterai demain en milieu de journee si ca ne presse pas trop  ( on fait demain excel avec un de , deux des)

Merci beaucoup. J'attends la réponse de votre part

bon je t'ai envoye la feuille excel que je viens de faire sur ton mail

tu enleveras les cellules L2 jusqu'à Y2 : inutiles ; il y a surement des raccourcis à cette grande  feuille!  je decide d'associer les paires : si c'est une mixte VH, HV  c'est 1 sinon c'est 0
La colonne J donne le nb de segments necessires pour aller d'un "stop "à l'autre de la E, la K compte les "stop"

bonjour  plumemeteore, je suis d'accord avec tes resultats de moyenne

Merci beaucoup, mais est-ce que je peux avoir la réponse à la première question de l'exercice aussi?

bonsoir,
à la calculatrice , tu peux te creer une succession de 1 ;0 au hasard en faisant : partie entiere de  deux un nombre entre 0 et 1
donc ENT(2*RAND)comme la colonne B ci-dessus et apres tu fais le decompte a la main

Vous pouvez détailler?

en fait c'est selon les calculettes intg(2*Rand) (casio ) ou int(2*rand) ou ipart (2*rand) (Ti)

et rand ce peut etre random ou alea

Autrement je veux la réponse à la question 1, après j'ai compris tout, merci. (Le dernier demande)

autre facon:
avec l'un de tes messages ci-dessus
0,98374634635433
est un nombre aleatoire sans doute donné par la calcularice
, on decide que apres la virgule
les chiffres pairs=H , les impairs =V
celui la c'est
V H V V H H V H H V V H V V
EN FAIT C'EST TROP GRAND , UN TRAJET C'EST

V H V V H H V H
LONGUEUR 8 ICI .
OK?

si tu fais la simulation avec Excel c'est interessant si tu prolonges ton tableua avec 2000 lignes la on voit que la moyenne tourne autour de 4  (c'est vraiment 4 en fait ) donc si tu sais faire copie colle de la ligne 40 , croix noire, on tire jusqu'a ligne 2001 et apres tu fais en J2002=somme(J2:J2001) en K2002=somme(K2:K2001) en L2002=J2002/K2002

Hmm ok je comprend donc la solution c'est j'utilise Casio Graph 35 = int(2*ran#) d'après son manuel,

alors il y a deux possibilité V ou H (verticale ou horizantale) Et  A B C D, et 6 étapes,

ok ok, c'est trop bien j'ai bien aimé je vous remercie.

Et en Excel c'est quelle formule pour la simulation
?

vas voir ton @mail, ilya toutes les formules si tu as excel

oui oui j'ai excel.

J'ai pas les formules dans mon émail

si tu ouvres la feuille excel , clique sur les cellules de la ligne 2 l'une apres l'autre et tu verras chaque formule

ALEA() que je trouve

C'est bon j'ai trouvé

Merci beaucoup pour toutes ces explications symphatiques rédigées à chaud, dont Plumemeteore aussi a sa place