Exercice 1:

Je pense que cet exercice fait référence à la loi de Bernouilli

X = les deux pièces tombent sur pile.

P(X=1) = (1/2)² = 1/4 = p
P(X=0) = 1 - p = 1 - (1/4) = 3/4

ensuite je ne sais pas par où commencer, pouvez vous me mettre sur la piste
Merci pour votre aide

Bonjour Shelzy,

Ex.1 : Le joueur A gagne a (inconnu) avec la probabilité 1/4 et perd 2 euros avec la probabilité 3/4. L'espérance de son gain est donc a*(1/4) + (-2)*(3/4). Tu veux qu'elle soit nulle, cela détermine a.

Ex.1: Un mot encore sur le début de ta solution. Si tu veux faire intervenir la loi de Bernoulli dans ce problème, tu dois considérer la variable aléatoire X = " nombre de "pile" obtenus en lançant deux fois une pièce". X peut prendre les valeurs 0,1,2 avec les probabilités données par la loi de Bernoulli : P(X=0) = (1/2)², P(X=1) = 2*(1/2)*(1/2), P(X=2) = (1/2)².

Bonjour PIL
Avant de continuer, j'ai des questions sur cet exo 1:
1/. Est-ce que A et B lancent deux pièces de monnaie (une chacun), c'est la même chose que dire  

Bonjour Shelzy,

Pour tes questions :
1/.  Que A et B lancent chacun une pièce, que A ( ou B ) lance deux pièces, simultanément ou successivement, c'est la même chose! Il y a 4 résultats, qui peuvent s'écrire  (pile,pile),(pile,face), (face,pile),(face,face). Chacun de ces événements a la même probabilité 1/4.
2/. Tu vois que l'événement "X=1" est réalisé deux fois : avec (pile,face) et avec (face,pile); donc P(X=1) = 2*(1/4).
Tu devrais sentir que ton idée " P(X=1) = 2*(1/2)" n'est pas la bonne car tu aurais P(X=1)=1, ce qui signifierait qu'on est certain d'avoir une fois pile !
3/. Oui.
4/. C'est bien l'espérance du gain de A. Et l'espérance du gain de B est 2*(3/4) + (-a)*(1/4), parce que lui il gagne 2 et il perd a.

Ok, J'ai tout compris, merci pour tes supers explications

Exercice 2:
Espérance:
E(X) = (-2*(1/8))+(-1*(1/4))+(0*(1/5))+(1*(1/8))+(2*(3/10)) = 9/40 = 0.225
Ecart-type:
(X)=(V(X))
V(X)=((-2)² *(1/8))+((-1)² *(1/4))+(0²*(1/5))+((1)²*(1/8))+((2)²*(3/10)) = 83/40 = 2.075

=> (X)=(V(X))=2.075 = 1.44

Est-ce que c'est correcte ?

C'est bon pour l'espérance !
Ce n'est pas Var(X) que tu as calculé, mais  E(X²) !
Par définition, la variance de X est Var(X) = E[{X-E(X)}²], donc ici tu dois calculer
Var(X) = (-2 - 2.075)²*(1/8) + (-1 - 2.075)²*(1/4) + (0 - 2.075)²*(1/5) + ... + (2 - 2.075)²*(3/10).

Mais on montre que  Var(X) = E(X²) - (E(X))², ce qui te permettrait d'utiliser ton calcul !

Ok, sauf que vous avez fait juste une petite erreur de frappe:
Var(X) = (-2 - 0.225)²*(1/8) + (-1 - 0.225)²*(1/4) + (0 - 0.225)²*(1/5) + ... + (2 - 0.225)²*(3/10) = 4.96 5

Ok pour l'exo 2.


Exercice 3:
X = "nombre de femmes" donc comme on est à un concours on ne sait pas combien il y a d'hommes ou de femmes (seulement 2 fois plus d'hommes que de femmes) donc X peut prendre 0,1,2,3,......(X v.a qui ne prend qu'un nombre de valeurs infini)

a). La loi que suit la variable X est la loi de Bernoulli je suppose.
Donnons la loi de probabilité:
P(X = 0) = {probabilité qu'il y a 0 femme tiré au sort} = (1/2)*2 = {on multiplie par 2 car il a 2 fois plus d'hommes que de femmes} or c'est faux car on obtiens 1 qui est l'évènement certain donc (1/2)² ?

Je ne vois pas trop en faite

P(X = 1) = {probabilité qu'il y a 1 femme tiré au sort} =

Pouvez vous me mettre sur la piste, en faite je ne sais pas si on doit multiplier par 2, diviser par 2

Ex 3: Attention Shelzy, on tire une personne au hasard, donc la variable aléatoire X = " nombre de femmes " ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. En fait c'est la même situation que si on avait une urne avec trois boules, 1 blanche (femme) et 2 noires (homme), et on tire au hasard une boule et on note X le nombre de boules blanches sorties. Il te reste à trouver P(X=0) et P(X=1) et tu auras la loi de probabilité de X.
Bon travail !

Bonsoir PIL
Alors si X = "nombre de femmes", X peut donc prendre que deux valeurs : 0 ou 1,
A).
P(X=0) = ( + ) /   car on a 1 chance parmi 3 de tirer au sort un homme ou 1 chance sur 3 de tirer au sort un homme car on a deux fois plus de chance de tirer au sort un homme qu'une femme

P(X=1) = /

Mais je sais que ce n'est pas le bon résultat (résultat impossible car p
[0,1]

Je pense que c'est le {nombre de cas possibles}/{nombre de cas favorables}
B).
ou alors c'est tout simple est c'est ceci:
P(X=0) = 2/3 et P(X=1)=1/3 et ceci correspond bien à la loi de Bernoulli

Je crois que c'est le B qui est juste, est-ce vrai ?

Merci pour votre aide

Bonsoir Shelzy,

Le B est parfaitement juste et c'est l'application de la règle :
probabilité = {nombre de cas favorables}/{nombre de cas possibles} et non pas l'inverse ! Ce n'est pas vraiment la loi de Bernoulli, cette dernière s'appliquant lorsqu'on répète n fois une expérience aléatoire. On aura peut-être l'occasion d'en reparler ...

Une erreur dans mon dernier post : la loi de X du 3) est bien la loi de Bernoulli ! J'ai mélangé avec la loi binomiale ! Excuse-moi.

Donc comme P(X=0) = 2/3 et P(X=1)=1/3 => Loi de Bernoulli

Son espérance est donc:
E(X) = (0*2/3) + (1*1/3) = 1/3

L'écart type est donc:
(X) = V(X) = = 0.47 car:

=> La variance: V(X) =  E[{X-E(X)}²] = (0-)²* + (1-)²* =

Est-ce ceci ? (merci pour votre correction )

C'est juste !
On peut se tutoyer ...

Bonjour PIL
Ok pour l'exercice 3

Exercice 4:

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0.2  Quelles sont les valeurs prises par X et les probabilités associées ?

X compte le nombre de succès lors d'une expérience comportant 4 épreuves et tel que la probabilité de succès lors de chaque épreuves p = 0.2 , et une probabilité de (1 - 0.2) = 0.8 d'échec:

Les valeurs prises par X sont 0.1.2.3.4
P (X = 0) = (0.2)⁰ (1 - 0.2)^4-0 = (0.8)⁴ = 0.4096

P (X = 1) = (0.2)¹ (1 - 0.2)^4-1 = (4*0.2)(0.8)³ = 0.4096


P (X = 2) = (0.2)² (1 - 0.2)^4-2 = 6*(0.2)²(0.8)² = 0.1536


P (X = 3) = (0.2)³ (1 - 0.2)^4-3 = 4*(0.2)³(0.8)¹ = 0.0256


P (X = 4) = (0.2)⁴ (1 - 0.2)^4-4 = (0.2)⁴= 0.0016

Est-ce que c'est la bonne méthode ?
En attente de ta réponse, merci

Bonjour Shelzy,

C'est parfait !
Bonne journée !

Ok, merci PIL pour ton aide, c'est sympa, à présent j'ai mieux compris les probabilités discrètes
Merci encore et bonne journée à toi aussi