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Exercice 4 (ESTIMATION)

Posté par
Franck57
30-04-08 à 17:51

Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice (ESTIMATION).

On dispose d'un échantillon de 50 pièces cylindriques dont on a mesuré le diamètre

D (cm) 4,97 4,98 4,99 5,00 5,01 5,02 5,03
ni 1 0 13 18 17 0 1

1 : Calculer le diamètre moyen me et l'écart - type σe de cet échantillon.
2 : Déterminer l'intervalle de confiance à 95% que l'on peut assigner au diamètre moyen des pièces de la fabrication dont provient l'échantillon.
3 : Peut-on faire l'hypothèse au risque de 1% que les pièces de cet échantillon ont été fabriquées par une machine A dont la fabrication est normale de moyenne μ=5 cm et d'écart - type σ=0,005cm.

Posté par
Franck57
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 30-04-08 à 17:51

Voici les résultats que j'ai trouvés pour la question 1 :

Diamètre moyen (mi) de cet échantillon : 5,0008
Ecart - type (σe) de cet échantillon : 0,0097652

Voici les résultats que j'ai trouvés pour la question 2 :

L'intervalle de confiance à 95% que l'on peut assigner au diamètre moyen des pièces de la fabrication.

I95% = [5,0008-1,96*0,0097/√50 ; 5,0008+1,96*0,0097/√50]
I95% = [4,9981 ; 5,0034]

Pour la question 3 je n'arrive pas a la comprendre ?

Posté par
niparg
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 30-04-08 à 20:25

>bonjour
>diamètre moyen et écart-type dans l'échantillon sont exacts
<pour déterminer un intervalle de confiance pour le diamètre moyen des pièces de la fabrication totale (population ) dont est issu l'échantillon donné on doit faire l'hypothèse que dans cette population la variable aléatoire  "diamètre" D suit une loi normale de moyenne (espérance mathématique) et d'écart-type inconnus.
l'intervalle de confiance I au niveau de confiance 95% est :
[mi-1.96s/49;mi+1.96s/49]
où s=(50/49)e=0.009864
[5.008-1.96*0.009864/ 49 ;  5.008+1.96*0.009864/ 49]=[4.99804 ;5.00356]
rem:a) je prends s car l'écart-type de D est inconnu
b) comme la taille de l'échantillon est > à 30 j'utilise la loi normale et non la loi de student pour déterminer le t dans l'expression de l'intervalle de confiance I
I=[mi-t*s/ 49  ;mi-t*s/ 49]
pour la question suivante je vais regarder comment la résoudre

Posté par
Franck57
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 01-05-08 à 12:02

Bonjour  niparg je vous remercice pour les conseils et l'aides que vous me donner

Posté par
Franck57
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 01-05-08 à 16:00

Les résultats pour la question 2 sont pas correcte

Posté par
niparg
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 01-05-08 à 17:08

>je suppose que vous avez déjà travaillé sur les tests:dans cette question il s'agit d'un test d'adéquation à un loi théorique:il faut tester l'hypothèse H_0"le diamètre des pièces produites dans la production est une variable aléatoire D qui suit une loi normale de moyenne 5cm et d'écart-type 0.005cm" compte tenu des résultats obtenus dans l'échantillon extrait (une autre manière de dire  les choses :l'hypothèseH_0est-elle compatible avec les résultats de l'échantillon)
>pour décider de conserver ou non cette hypothèse H_0 on définit un règle de décision (test du ^2):
1er travail:je vais d'abord modifier la présentation de l'échantillon extrait étant une variable continue j'introduis naturellement les intervalles suivants:
[e_i      e_i+1[     n_i
[4.965 ;4.975[   1
[4.975 ;4.985[   0
[4.985 ;4.995[  13
[4.995 ;5.005[  18
[5.005 ;5.015[  17
[5.015 ;5.025[   0
[5.025 ;5.035[   1
puis j'effectue des regroupements d' intervalles de façon que les effectifs soient tous >5,(explication plus tard) on obtient:
[e_i      e_i+1[     n_i
[4.965 ;4.995[  14
[4.995 ;5.005[  18
[5.005 ;5.035[  18
dans la suite je ne considèrerai que ces trois intervalles

2ème travail:sur les extrémités des intervalles j'effectue le changement de variable([e_i-5)/0.005=t_i,on obtient les intervalles
[-7;-1[,[-1; 1[ et [1 ; 7[
pour chacun d'eux je calcule p_i=prob(e_i<=X< e_i+1)où X suit la loi normale centrée et réduite
je vais vous demander de faire ces calculs pour la suite
bon courage

Posté par
Franck57
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 01-05-08 à 18:43

comment faire pour répondre a la question :

3 : Peut-on faire l'hypothèse au risque de 1% que les pièces de cet échantillon ont été fabriquées par une machine A dont la fabrication est normale de moyenne μ=5 cm et d'écart - type σ=0,005cm.

Posté par
carpediem
Exercice 4 (estimation) 01-05-08 à 18:51

salut à vous

2) ne doit-on pas faire une etimation ponctuelle de la moyenne (celle donnée) par l'echantillon et de l'écart type en posant =sn/(n-1)
on calcule alors l'intervalle de confiance à 95 % tel qu'il a été fait

3) on connait la moyenne et l'écart type théorique (ceux donnés dans la question) donc on calcule l'intervalle de confiance I à 1 %
si ma moyenne de l'échantillon n'appartient pas à I alors on rejette l'hypothèse H0

Posté par
carpediem
Exercice 4 (estimation) 01-05-08 à 18:53

c'est à dire la machine ne convient pas

Posté par
niparg
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 01-05-08 à 19:26

>je ne suis pas d'accord, il s'agit d'un test d'adéquation à une distribution théorique comme je l'ai dit dans un  message précédent.

Posté par
carpediem
Exercice 4 (estimation) 01-05-08 à 21:58

la va D suit une loi normale de paramètres m et
la loi d'échantillonage permet d'estimer ces paramètres et de donner un intervalle de confiance de la moyenne
(question 1) et 2)) pour un échantillon de taille n

dans la question 3) "on veut" que D suivent la loi normale N(5, 0,005) (pour des raisons techniques, de fiabilité, de rentabilité...)

on détermine alors l'intervalle de confiance I à partir de ces valeurs théoriques pour un échantillon de taille n
puis on compare avec l'échantillon de taille n qui est représentatif de la population totale théorique si H0 est réalisée et donc D suit bien la loi théorique

ce me semble t-il

Posté par
niparg
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 02-05-08 à 12:19

>effectivement s'il s'agit de tester uniquement l'hypothése H_0:la variable aléatoire D a pour valeur moyenne 5 il faut utiliser le test donné par
carpediem (d'ailleurs comme n=50>30 la nature de la distriution (normale ou pas)de D n'intervient pas.
>s'il s'agit au contraire d'un test d'ajustement à une loi normale on utilise le test du khi2.

Posté par
Franck57
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 02-05-08 à 16:23

Pour la question 3 il faut donc utilisé une loi normale ?

Posté par
carpediem
Exercice 4 (estimation) 02-05-08 à 17:16

oui en fait tu ne connais rien sur D autrement que par des relevés statistiques
mais ce que tu veux c'est que D suive la loi normale N(5, 0,005) avec la laquelle tu cdétermine un intervalle de confiance correspondant à la taille de l'échantillon prélevé (n=50)
ce qui te donne l'intervalle I dans lequelle la moyenne de tes échantillons doit se trouver : c'est l'hypothèse H0 dans un test bilatéral: m = m0=5 ici où m est la moyenne de ton échantillon
si mI l'hypothèse : "la moyenne de D est 5" est acceptée (au niveau de confiance 1%) et on considère que la machine convient et on accepte sa production

Posté par
Franck57
re : Exercice 4 (ESTIMATION) 02-05-08 à 17:59

Bonjour carpediem est ce que la question 2 que j'ai trouver et elle correcte, si non pour quel raison ?

Posté par
carpediem
Exercice 4 (estimation) 02-05-08 à 18:12

salut

à priori oui sauf que tu as gardé l'écart type de ton échantillon alors qu'il faut en faire une estimation ponctuelle en prenant s(n/(n-1)) où s est l'écart type de ton échantillon
c'est l'autre donné par la machine (attention aux notations de ton esclave)



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