Bonjour,

quelque chose qui saute aux yeux, c'est que si a=b, le résultat est un entier, et c'est n.

Donc il y a des solutions.

Salut

Une idée :

Puisque ln(b) est réel pour que Un soit entier il faut qu'il existe k tel que :

ln(a^n+a-b) = k.ln(b) <=> ln(a^n+a-b) = ln(b^k) <=> ln[(a^n+a-b)/b^k] = 0

Par bijectivité on en déduit : (a^n+a-b)/b^k = 1 <=> a^n + a - b = b^k <=> a(a^(n-1)+1) = b(b^(k-1)+1).

On doit donc déterminer k s'il existe.

A creuser.

Pardon, j'oubliais qu'on avait imposé a>b...

Salut Kevin!

Salut Greg

Je croyais qu'il cherchait toutes les solutions

Non, mais c'est bien ce que tu as fait!

Déjà on est sûr qu'il faut chercher k > n (à cause de a > b)!.

salut vous

a et b entiers et a > b donc n<k
puis essayer des critères de divisibilité peut-être...

Oui peut-être distinguer les cas a et b premiers entre eux ou non...

A propos de terme de divisibilité , j'ajoute que a et b sont des nombres premiers.

Bon avançons un peu :

a(a^(n-1)+1) = b(b^(k-1)+1).

a|b(b^(k-1)+1) et a^b = 1 donc b^(k-1)+1 = pa.

De même b|a(a^(n-1)+1) et b^a=1 donc a^(n-1)+1 = qb.

On remplace :

a*(qb) = b*(pa) donc q = p.

Par soustraction :

b^(k-1) - a^(n-1) = p(a-b)

Je sais pas si ça mène quelque part

je ne crois pas que a ^ b = 1.

ah moins que ^ veuille dire PGCD?

Oui oui c'est le pgdc bien sûr

On a aussi a^n + a = b^k + b <=> b^k - a^n = a - b

Donc en remplaçant dans b^(k-1) - a^(n-1) = p(a-b) on a :

b^(k-1) - a^(n-1) = p[b^k - a^n]

Va savoir si ça sert

De toute façon je ne pense pas que l'on puisse expliciter k en fonction de a et b sans avoir recours au log, même avec l'hypothèse a et b premiers. Mais on peut trouver quelques relations sympas comme j'ai tenté de faire pour limiter la recherche des entiers k, et ensuite on fait tourner un programme là-dessus.

Dans quel contexte tu dois chercher pour quelles valeurs les termes Un sont entiers ?

C'est dans mon propre intérêt, et je ne sais pas si il existe un tel k. je souhaiterais qu'il n'y en ait pas.

si ab(p)alors a^nb^n(p)

or ici a^(n-1)-1(b) et (-1)^j=-1 si j est impair donc on peut essayer avec a-1(b) et n pair et voir ce qui se passe et idem en prmuttant a et b et n et k

Vous pouvez me dire si :

ln ( ln(b)/ln(a)) / ln ( a^n / b ) peut être un entier, avec b> a , a^n > b ?

et n entier.