Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre TopologieTopics traitant de topologie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

espace l²

Posté par
romu 30-04-08 à 21:54

Bonsoir,

dans l'espace S de toutes les suites réelles, on considère les vecteurs e^{(k)} définis par 3$\{e_k^{(k)}=1\\e_n^{(k)}=0 \mbox{ si } n\neq k.
Je dois montrer que (l^2)' s'identifie à l^2. On pourra utiliser la suite z_{f,N}=\Bigsum_{n=1}^N f(e^{(n)})e^{(n)}, pour f\in (l^2)' et N\geq 1).

Je trouve que déjà, que z_{f,N}\in l^2 car nulle à partir d'un certain rang,
3$||z_{f,N}||_2^2=\Bigsum_{n=1}^N |f(e^{(n)})|^2 et 3$f(z_{f,N})=f(\Bigsum_{n=1}^N f(e^{(n)})e^{(n)}) = \Bigsum_{n=1}^N |f(e^{(n)})|^2 = ||z_{f,N}||_2^2.

Après je voudrais en déduire que (f(e^{(n)})_{n\geq 1} \in l^2 mais je ne vois pas comment faire.

Merci pour votre aide.  

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 30-04-08 à 22:19

Salut romu!

Tu ne t'es pas encore servi de la continuité de f :

il existe M>0 tel que pour toute suite u on ait |f(u)| < M.||u||2.

En particulier en prenant u=zf,N, il vient pour tout N:


4$||z_{f,N}||^2=|f(z_{f,N}|=\Bigsum_{n=1}^N|f(e^{(n)})|^2\le M.||z_{f,N}||


d'où 4$||z_{f,N}||\le M , ce qui s'écrit 4$\Bigsum_{n=1}^N|f(e^{(n)})|^2\le M^2.



Comme c'est vrai pour tout N, on en déduit que 4$(f(e^{(n)})_{n\geq%201}%20\in%20l^2.



Tigweg

Posté par
romure : espace l² 30-04-08 à 22:50

ah oui, je n'avais pas pensé à la continuité de f.
Merci Greg.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 30-04-08 à 22:54

Pas de quoi romu!

Tu t'en sors pour prouver la suite (si je puis dire!) ?

Posté par
romure : espace l² 30-04-08 à 23:07

Après je crois qu'il faut que je montre que l'application 3$\psi:f\in (l^2)' \rightarrow (f(e^{(n)}))_{n\geq 1} est une bijection linéaire de (l^2)' sur l^2,
et montrer aussi que \psi est isométrique, un peu comme dans ce topic: espace de suites.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 30-04-08 à 23:20

En fait je viens de retrouver au brouillon qu'il s'agit d'un morphisme injectif continu de norme 1.

Il me reste la surjectivité à prouver, il me manque donc encore quelque chose!

Tu as besoin d'aide pour la continuité et le fait que c'est même une isométrie?

Posté par
romure : espace l² 01-05-08 à 00:44

ok pour l'instant j'ai montré que \psi est une bijection linéaire mais j'ai su mal à montrer que c'est une isométrie.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 00:48

Ok, c'est un peu long mais je vais essayer de poster ça!

Posté par
romure : espace l² 01-05-08 à 01:33

ok, je regarde de mon côté, mais partir du dual ça me perturbe,
dans le théorème de Riesz on associait à a la forme linéaire a\rightarrow \varphi_a, avec \varphi_a : x\rightarrow <x|a>_2

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 01:35

Pour commencer, remarquons que pour tout élément u=(u_k)\in \ell^2 on a dans 4$\ell^2\;:\;\Bigsum_{k=0}^Ku_ke^k\to_{K\to{+\infty}}\;u (je noterai e^k pour e^{(k)} si tu veux bien!)


En effet, comme 4$u\in \ell^2,\;\;\Bigsum_{k\ge K+1}|u_k|^2\;\to_{K\to{+\infty}}\;0.



On peut donc noter 4$\fbox{u=\Bigsum_{k\ge 0}u_ke^k} , la somme infinie étant comprise comme une limite dans 4$\ell^2.


Soit 4$f\in (\ell^2)^', non nulle. Par continuité de 4$f, on a :





4$\fbox{f(u)=\Bigsum_{k\ge 0}u_kf(e^k)}.\;\;\;\;(1)









D'où, par Cauchy-Schwarz: 4$|f(u)|^2\le(\Bigsum_{k\ge 0}u_k^2)(\Bigsum_{k\ge 0}|f(e^k)|^2


ce qui prouve que la norme de 4$f en tant qu'élément de 4$(\ell^2)^' (muni de la topologie forte) est majorée par 4$\Bigsum_{k\ge 0}|f(e^k)|^2.



Prouvons que la norme de 4$f est exactement égale à ce majorant.

Pour cela, considérons pour tout entier n l'élément 4$u_n=(f(e_1),...f(e_n),0...,0,...)\in\ell^2.



D'après (1) on a : 4$|f(u_n)|=\Bigsum_{k= 0}^n|f(e^k)|^2



avec 4$||u_n||_{\ell^2}=\sqrt{\Bigsum_{k= 0}^n|f(e^k)|^2}



Comme 4$f\neq 0,\;u_n est de norme non nulle pour n assez grand, et on peut écrire



4$\fr{|f(u_n)|}{||u_n||_{\ell^2}}=\sqrt{\Bigsum_{k= 0}^n|f(e^k)|^2}


ce qui prouve que la norme de 4$f est minorée par 4$\sqrt{\Bigsum_{k= 0}^n|f(e^k)|^2}
pour tout n.


Le membre de droite admet pour limite 4$\sqrt{\Bigsum_{k\ge 0}|f(e^k)|^2} lorsque n tend vers l'infini, ce qui entraîne bien 4$||f||_{(\ell^2)^'}\ge\sqrt{\Bigsum_{k\ge 0}|f(e^k)|^2}.


Finalement on a prouvé que pour tout f non nulle de 4$(\ell^2)^' on a 4$||f||_{(\ell^2)^'}=\sqrt{\Bigsum_{k\ge 0}|f(e^k)|^2}=||\Psi(f)||_{\ell^2}.


Ceci prouve bien que l'application linéaire 4$\Psi est coninue, de norme 1, et même que c'est une isométrie.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 01:39

ce qui prouve que la norme de 4$f en tant qu'élément de 4$(\ell^2)^' (muni de la topologie forte) est majorée par 4$\sqrt{\Bigsum_{k\ge 0}|f(e^k)|^2}, plutôt!

Posté par
infophilere : espace l² 01-05-08 à 01:39

Oh c'est beau

Bonne nuit les gars !

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 01:40

Merci!

Bonne nuit Kevin!

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 01:45

Citation :
ok pour l'instant j'ai montré que \Psi est une bijection linéaire



->Ah oui? Tu as prouvé la surjectivité?Si oui, ça m'intéresse!

Posté par
romure : espace l² 01-05-08 à 02:09

Ok, bon je suis encore en train d'analyser ta réponse ,

merci en tout cas ,

pour la surjectivité de \psi je procède comme ça:

Soit y=(y_n)_{n\geq 1}\in l^2. On cherche f\in (l^2)' tel que \psi(f)=y,

ie f(e^n)=y_n pour tout n\geq 1.

Pour x^N=\Bigsum_{n=1}^N x_n e^n, on doit avoir f(x^N)=\Bigsum x_n f(e^n) par linéarité de f,
donc f(x^N)=\Bigsum x_n f(e^n)= \Bigsum_{n=1}^N x_n y_n

Je considère f:l^2\rightarrow \mathbb{R} définie par x=(x_n)\rightarrow \Bigsum_{n=0}^{\infty} x_n y_n.

Après je montre que f\in (l^2)' et il me semble que \psi(f)=y.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 02:19

Oui, bien vu!!

Je définissais f sur Vect(en) mais ne parvenais pas à montrer la continuité! A posteriori c'est évident, Vect(en) n'est que strictement inclus dans l²!

Cool! Donc on a fini!

A la tienne, on a bien mérité une petite

Posté par
romure : espace l² 01-05-08 à 11:46

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 13:21

Oh, tu trinques pas avec moi?

Peut-être est-il un peu tôt!

En tout cas, tu es d'accord avec ce que j'ai proposé?

Posté par
infophilere : espace l² 01-05-08 à 13:22

Moi je veux bien trinquer avec toi

Posté par
gui_toure : espace l² 01-05-08 à 13:28

A la votre !

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 13:37

A la vôtre Kevin et Guillaume!

Posté par
romure : espace l² 01-05-08 à 17:38

oui je suis bien d'accord, c'est clair maintenant

Merci Greg

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace l² 01-05-08 à 23:47

Avec plaisir Romu


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !