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Exo défi : Base de Mn(K)

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Soit la base canonique de .

Alors l'application   ;   étant continue, est ouvert :
Il existe >0 tel que .

Or il est facile d'exhiber une matrice de rang p de : ajouter des à p-1 emplacements distincts de la matrice .

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...ajouter des à p-1 emplacements bien choisis dans la matrice

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J'ai lu tes blanqués . ta démonstration est jolie, mais valable uniquement sur un corps avec topologie. Nightmare le demande pour K quelconque... et j'avoue que je ne l'ai pas encore!

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Je t'avoue que je n'avais pas fait attention... J'avais lu

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Alors n > 1. Il suffit de montrer que l'ensemble des matrices de rang p forment un système générateur, on pourra toujours en extraire une base.
Pour p=1, c'est vrai (la base canonique est formée de matrices de rang 1).

Soit 1 p < n. On suppose que les matrices de rang p forment un système générateur. Soit A une matrice de rang p. Il existe des matrices inversibles P et Q telles que PAQ=Diag(1,1,...,1,0,...,0)=J_p (p fois 1).

Si la caractéristique de K est différente de 2:
J_p=Diag(2,2,...,2,1,0,...,0)-J_p+1
et en multipliant par P^-1 à gauche et par Q^-1 à droite on voit que A est somme de deux matrices de rang p+1. Les matrices de rang p+1 engendrent donc l'ensemble des matrices n fois n.

Si K est de caractéristique 2, je ne doute pas de l'existence d'une écriture avec seulement des 1 et des 0... mais j'ai manqué de persévérance!
Par exemple pour p=2 et n=3:

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Belle démonstration !
La mienne est semblable, en fait je montre que toute matrice de rang 1 est somme de deux matrices de rang p.

En effet, soit A de rang 1, elle est semblable à diag(1,0,...,0)

Or diag(1,0,...,0)=diag(2,1,...,1,0,...,0)+diag(-1,-1,...,-1,0,...,0) toutes 2 de rang p.
Comme la base canonique de Mn(K) est constituée de matrices de rang 1, les matrices de rang p sont génératrices.

Cependant comme tu dis ça ne marche pour que une caractéristique différente de 2. Je ne sais pas si c'est vrai autrement.

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Oui, ça se vaut... je pense que c'est vrai même en caractéristique 2, mais j'ai eu un accès de flemme...

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on note les matrices élémentaires (celles de la base canonique); soit la famille  B formée par:
Si p=n:
, les matrices avec i j et:

si n est pair, les matrices avec 1in-1 ( désignant la matrice avec des 1 sur la seconde diagonale, des 0 ailleurs);

si n est impair, on remplace par la matrice qui a 1 en position (i,i), des 0 dans le reste de la ligne i et de la colonne i et telle que si on supprime la ligne i et la colonne i on obtienne la matrice
il est facile de vérifier que ces matrices sont de rang n, que toute matrice élémentaire est combinaison linéaire de matrices de B et que card(B)=n²; B est donc bien une base.

si p<n:
(avec p fois 1), les matrices avec i j et min(i,j)p, puis les (n-p)² matrices avec i et j entre p+1 et n, désignant la matrice déduite de en décalant de k vers la droite, et enfin les matrices avec i entre 1 et p-1; toutes ces matrices ont pour rang p, toute matrice élémentaire est combinaison linéaire de matrices de B et card(B)=n²; B est donc bien une base.

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D'abord

montre que les matrices de rang 1 sont engendrées par les matrices de rang 2.

Ensuite, dans la somme de ma dernière ligne du post du 5 Mai 11:37 on peut prolonger les matrices de droites par autant de 1 sur la diagonale que l'on veut, leur somme sera toujours J₂, ce qui montre que les matrices de rang 2 sont engendrées par les matrices de rang p pour tout p 2.