Forum : arithmétique :
Petit problème en Arithmétique (Nombres premiers)

Salut.
J'ai juste un petit problème avec une question d'un exercice :
"Pour quelles valeurs de l'entier naturel n, N= 5n²+7n est-il premier ?"

Bon, du coup je suis un peu coincé.

Quelques trucs auxquels j'ai pensé :

n est un diviseur évident de N, et dans le "cas général" (sans prendre de valeurs particulières pour n), ça me semble le seul. Du coup, il faudrait que n soit égal soit à 1, soit à N. Mais en résolvant les équations, ca ne marche pas puiqu'on aurait
* n=1 d'où N=12 et N ne serait pas premier.
* n=0 d'où N=0 et N ne serait pas premier
* n=-6/5 et n n'appartiendrait pas à l'ensemble des entiers naturels.

Sinon, j'ai pensé que, 5 et 7 étant premiers, on pourrait utiliser un théorème particulier pour trouver n...

Enfin bon, je sais pas trop, on vient juste de commencer le chapitre sur les nombres premiers et comme à chaque nouveau chapitre d'arithmétique, j'ai beaucoup de mal.
Merci de votre aide.

++
        

bonjour,

N=n*(5n+7) donc il faut que n=1 ou 5n+7=1. La seconde équation n'a pas de solution dans les entiers naturels, donc il faut que n=1. Or tu as montré que ça ne marche pas, donc N n'est jamais premier.

Mhh... Je suis pas tout à fait d'accord avec toi pour la première proposition car N=n(5n+7) et donc en toute rigueur, si n=1, N devrait forcément être premier non ?
En plus, si on remplace n par n'importe quoi d'autre, N admet d'autres diviseurs...En plus, la façon dont la question est posée laisserait penser qu'il y a forcément des cas pour lesquels N est premier...

attention, quand j'écris N=n(5n+7) je n'ai jamais prouvé que 5n+7 était premier... Donc je ne prétends pas avoir écrit une décomposition en facteurs premiers de N. Je dis juste que N admet entre autres n et 5n+7 comme diviseurs.